✨ طرائف وألغاز رياضية

العدد السحري 142857

أشهر عدد « دوّار » في العالم 🎡
1
2
3
4

مفتاح هذه الصفحة كلّها :

🔑 1 ÷ 7 = 0,142857 142857 142857…

العدد 142857 هو دورة القسمة على 7. من هذه الحقيقة الوحيدة ستولد كلّ العجائب التالية !

1
العجلة العجيبة : اضرب… والعجلة تدور !
▼
احسب على كرّاسك كلّ عملية (الضرب في رقم واحد — أنت قادر !) ثم اكتب الناتج.
راقب العجلة جيّداً بعد كلّ إجابة صحيحة… 👀
▼ نقطة البداية
🎡
142857

🔑 لماذا نفس الأرقام تدور ؟

لأنّ كلّ هذه النواتج أبناء نفس العائلة : كسور السبعة !
1 ÷ 7 =0,142857…
2 ÷ 7 =0,285714…
3 ÷ 7 =0,428571…
4 ÷ 7 =0,571428…
كلّها نفس الدورة، لكن تبدأ من محطّة مختلفة — تماماً كركّاب يصعدون إلى نفس الحافلة الدائرية من محطّات مختلفة !
2
مصنع العدد : اصنع 142857 بيدك !
▼
سنقوم معاً بالقسمة 1 ÷ 7 خطوة خطوة. في كلّ خطوة : أجب عن الحاصل والباقي، وراقب سلسلة البواقي في الأسفل… 🕵️
0,▊

🔑 لماذا الدورة من 6 أرقام بالضبط ؟

عند القسمة على 7، الباقي لا يمكن أن يكون إلا : 1، 2، 3، 4، 5، 6 — ستّ إمكانيات فقط !
وقد مررنا بها كلّها : 1 ← 3 ← 2 ← 6 ← 4 ← 5 ← ثم عاد الباقي 1… وما إن يعود باقٍ قديم حتى تعيد القسمة نفسها إلى الأبد. لهذا الدورة طولها 6، ولا يمكن أن تكون أطول أبداً !
3
اللغز الكبير : ماذا عن × 7 ؟
▼
ضربنا في 2، 3، 4، 5، 6… وكلّ مرّة تدور العجلة.
فماذا سيحدث عند الضرب في 7 ؟ هل ستدور من جديد ؟ احسب على كرّاسك ثم اكتب :
😲 خرجنا من العجلة تماماً ! ستّ تسعات… لماذا يا ترى ؟

🔑 التفسير — بالمفتاح دائماً :

بما أنّ 1 ÷ 7 = 0,142857 142857… فإنّ :
142857 × 7 ≈ 0,999999… × 1 000 000
بصيغة أدقّ : الدورة 142857 هي بالضبط 999999 ÷ 7، إذن عند ضربها في 7 نسترجع 999999 كاملةً !
وتحقّق بالضرب العمودي : كلّ عمود يعطي 9 بالتمام —
7×7=49 → 9 (احتفاظ 4)
7×5+4=39 → 9 (احتفاظ 3)
7×8+3=59 → 9 (احتفاظ 5)
7×2+5=19 → 9 (احتفاظ 1)
7×4+1=29 → 9 (احتفاظ 2)
7×1+2=9 ✓
4
خدعة التقطيع : العدد لا يموت أبداً !
▼
ماذا لو ضربنا في عدد أكبر من 7 ؟ يظهر ناتج من 7 أرقام… لكن انتظر !
قطّع الناتج : 6 أرقام من اليمين + ما تبقّى، ثم اجمع القطعتين :

🎓 البرهان الكامل — لماذا يعود العدد بعد التقطيع ؟ (مثال × 8)

1نفكّك 8 :
142857 × 8 = 142857 × 7 + 142857 × 1
2نستعمل مفاجأة الاكتشاف 3 :
= 999999 + 142857 = 1 142 856
3لكن 999999 = 1 000 000 − 1، إذن :
1 142 856 = 1 000 000 + 142857 − 1
المليون هو « القطعة اليسرى 1 »، والباقي هو 142857 ناقص 1.
4التقطيع يعيد الحقّ لأهله :
142856 + 1 = 142857 ✓
القطعة اليسرى (1) تعوّض بالضبط الـ 1 الذي خسرناه بسبب 999999 !
✍️ دورك الآن — قلّد هذا البرهان على كرّاسك :
① أثبت بنفس الخطوات الأربع أنّ تقطيع 142857 × 9 = 1 285 713 يعطي 285714 (تلميح : 9 = 7 + 2).
② تحدٍّ منزلي : جرّب على الآلة 142857 × 84 ثم قطّع واجمع… ستلتقي بستّ تسعات ! (لماذا ؟ لاحظ أنّ 84 = 7 × 12)
🏆 اكتشفت كلّ أسرار العدد الدوري !

عدد واحد… وأربع عجائب، كلّها تنبع من قسمة بسيطة : 1 ÷ 7.
🌍 معلومة : يسمّيه الرياضيون « العدد الدوري » (nombre cyclique) وهو أشهرها على الإطلاق.
🎯 سؤال للفضوليين : هل توجد أعداد دوّارة أخرى ؟ جرّب دورة 1 ÷ 17 على الآلة…