الزوايا

مبنية على موتور البناء الآلي، مُدقَّقة حسابياً.

التمرين 01تصنيف الزوايا بالتعامد

نعتبر الشكل المقابل (زاويتان مرتبطتان بعلاقات تعامد).

زاوية قائمة في A، النقطة E على أحد الضلعين، و [ED] عمودية على الضلع الآخر.
صنّف الزاويتين AĈB و BÊD: متقايستان / متكاملتان / متتامتان.

إظهار التصحيح

الزاويتان ناتجتان عن تعامدين، ومجموعهما 90°.
إذن الزاويتان متتامتان.
في الشكل الثاني (زوايا 72° و 84° و 52°)، BÂD يساوي: 72° / 74° / 76°؟

إظهار التصحيح

⚠️ الاختيار النهائي غير ظاهر بوضوح في الصورة المصدر (قراءة OCR غير مؤكدة).
يُنصح بالتحقّق المباشر من النسخة الأصلية للورقة.

التمرين 02زوايا حول نقطة ومستقيمان متقاطعان

مستقيمان (yu) و (zv) متقاطعان في O، مع [Ox) وعمودي نحو الأسفل.

(yu) و (zv) متقاطعان في O ؛ xÔy=16°، yÔz=40°، zÔt=74°، وزاوية قائمة بين [Ox) والعمودي.
احسب xÔz.

إظهار التصحيح

xÔz = xÔy + yÔz = 16° + 40° = 56°.
اذكر زاويتين متتامتين معلّلا، وزاويتين متكاملتين.

إظهار التصحيح

زاويتان متتامتان: مجموعهما 90° (مثلا زاويتان تكمّلان القائمة عند [Ox) والعمودي).
زاويتان متكاملتان: مجموعهما 180° (زاويتان متجاورتان على أحد المستقيمين (yu) أو (zv)).
ارسم داخل xÔw نصف المستقيم [Or) بحيث xÔr = yÔz.

إظهار التصحيح

⚠️ شرط السؤال (قيمة xÔr) غير مقروء بوضوح في الصورة المصدر.
المبدأ: نحمل بالبركار زاوية تساوي yÔz = 40° انطلاقا من [Ox) داخل xÔw.

التمرين 03زاويتان متكاملتان ومنصّفان

xÔy و yÔz متجاورتان ومتكاملتان حيث xÔy = 70°.

xÔy و yÔz متجاورتان ومتكاملتان، xÔy = 70°.
احسب yÔz.

إظهار التصحيح

yÔz = 180° − 70° = 110° (متكاملتان).
ابنِ المنصّفين [Ot) و [Ou)، ثمّ احسب tÔu.

إظهار التصحيح

tÔy = 70°÷2 = 35° و yÔu = 110°÷2 = 55°.
tÔu = 35° + 55° = 90°.
A على [Ot) حيث OA = 3 صم. ارسم مسقطَي A: H على [Ox) و K على [Oy). بيّن أنّ AHK متقايس الضلعين.

إظهار التصحيح

A على منصّف xÔy، فهي متساوية البعد عن ضلعيها: AH = AK.
إذن المثلّث AHK متقايس الضلعين رأسه A.

التمرين 04مستقيمان متقاطعان ومنصّفان ودائرة

مستقيمان (xy) و (zt) متقاطعان في O حيث xÔz = 40°.

(xy) و (zt) متقاطعان في O، xÔz = 40°.
احسب tÔy و xÔt.

إظهار التصحيح

xÔt = 180° − 40° = 140° (متكاملتان).
tÔy = xÔz = 40° (متقابلتان بالرأس).
أكمل: xÔz و xÔt زاويتان ..... و .....

إظهار التصحيح

xÔz و xÔt متجاورتان (تشتركان في [Ox)) ومتكاملتان (مجموعهما 180°).
ابنِ [Ou) منصّف xÔz و [Ov) منصّف xÔt. احسب uÔx و xÔv وقارن.

إظهار التصحيح

uÔx = 40°÷2 = 20° و xÔv = 140°÷2 = 70°.
متجاورتان (الضلع [Ox)) ومتتامتان لأنّ 70° + 20° = 90°.
A و B على [Ou) (OA=2، OB=5)، Δ⊥(Ou) في B، دائرة C(A;3). وضعية C مع Δ ومع (Ov)؟

إظهار التصحيح

بُعد A عن Δ = AB = OB − OA = 5 − 2 = 3 = r، إذن Δ مماسّ للدائرة في B.
بُعد A عن (Ov) = AO = 2 < 3 = r، إذن (Ov) قاطع للدائرة.

التمرين 05زاوية متممة ومنصّفات ومساقط

زاوية xÂy قيسها 55°.

زاوية xÂy قيسها 55°.
ابنِ yÂz المجاورة والمتمّمة لها ثمّ احسبها.

إظهار التصحيح

yÂz = 90° − 55° = 35° (متتامّتان).
ابنِ [At) منصّف xÂy و [Au) منصّف yÂz، ثمّ احسب uÂt.

إظهار التصحيح

uÂt = xÂy/2 + yÂz/2 = 55°/2 + 35°/2 = 45°.
B على [Ay] حيث AB = 5 صم، وΔ عمودي على (AB) في B.

إظهار التصحيح

نرسم Δ العمودي على (AB) المارّ من B.
Δ يقطع [At] في M و[Au] في N. H مسقط M على [Ax]، P مسقط N على [Az]. قارن MB و MH واحسب HMB.

إظهار التصحيح

M على منصّف xÂy فهي متساوية البعد عن الضلعين: MH = MB.
في الرباعي AHMB: HMB = 360° − (55° + 90° + 90°) = 125°.
برهن أنّ [MA] منصّف HMB وأنّ AP = AH.

إظهار التصحيح

AMH = 90° − HÂM و AMB = 90° − BÂM، و HÂM = BÂM، إذن AMH = AMB: [MA] منصّف HMB.
وبما أنّ A على منصّف HMB فهي متساوية البعد عن ضلعيه: AP = AH.

التمرين 06مثلَّث: زوايا ومسقط ومنصّف ومتوسّط عمودي

مثلَّث ABC حيث BC = 8 صم، ABC = 65°، ACB = 40°.

مثلَّث ABC: BC = 8 صم، ABC = 65°، ACB = 40°.
احسب BÂC.

إظهار التصحيح

BÂC = 180° − (65° + 40°) = 75° (مجموع زوايا المثلّث).
ابنِ H مسقط A على (BC). احسب BÂH و CÂH.

إظهار التصحيح

AH ⊥ BC، إذن BÂH = 90° − 65° = 25° و CÂH = 90° − 40° = 50°.
ابنِ [Ax) منصّف BÂC يقطع (BC) في M. احسب BÂM و AMB و AMC.

إظهار التصحيح

BÂM = 75°÷2 = 37,5°.
AMB = 180° − (65° + 37,5°) = 77,5° ؛ AMC = 180° − 77,5° = 102,5°.
ابنِ المتوسّط العمودي Δ لـ [BC]. بيّن أنّ Δ ∥ (AH).

إظهار التصحيح

Δ ⊥ (BC) و (AH) ⊥ (BC)، إذن Δ ∥ (AH).
دائرة C(B;3). وضعيتها مع Δ؟

إظهار التصحيح

بُعد B عن Δ = BC/2 = 4 صم، و r = 3 صم، وبما أنّ 3 < 4 فالدائرة و Δ منفصلان.

التمرين 07مثلَّث متقايس ومنصّفات ودائرة محاطة

مثلَّث ABC متقايس الضلعين قمته A حيث AB = 4 صم و BÂC = 52,5°.

مثلَّث ABC متقايس الضلعين رأسه A، AB = 4 صم، BÂC = 52,5°.
احسب ABC.

إظهار التصحيح

المثلّث متقايس الضلعين، إذن ABC = ACB = (180° − 52,5°) ÷ 2 = 63,75°.
ابنِ [Bx) منصّف ABC و [By) منصّف الزاوية المجاورة المتكاملة لها.

إظهار التصحيح

[Bx) منصّف الزاوية الداخلية، و [By) منصّف الزاوية الخارجية المجاورة والمتكاملة.
بيّن أنّ [Bx) و [By) متعامدان.

إظهار التصحيح

xBy = ABC/2 + CBt/2 = (ABC + CBt)/2 = 180°/2 = 90°، إذن [Bx) ⊥ [By).
[Am) منصّف BÂC يقطع [Bx) في O و(BC) في E، I و J مسقطا O على (AB) و(AC). برهن أنّ (AE) ⊥ (BC) وأنّ O مركز الدائرة المحاطة.

إظهار التصحيح

AÊB = 180° − (63,75° + 26,25°) = 90°، إذن (AE) ⊥ (BC).
O على منصّفَي الزاويتين عند A و B، إذن OI = OJ = OE: O مركز الدائرة المحاطة بالمثلّث.

التمرين 08مستطيل وزاوية ومنصّف ومسقط

OABC مستطيل حيث AB = 4 صم و BÔC = 60°، و I على [BC] حيث BI = 3 صم.

مستطيل OABC: AB = 4 صم، BÔC = 60°، BI = 3 صم.
احسب AÔB.

إظهار التصحيح

في المستطيل AÔC = 90°، إذن AÔB = 90° − 60° = 30°.
ابنِ [Ox) منصّف BÔC. بيّن أنّ [OB) منصّف AÔx.

إظهار التصحيح

BÔx = 60°÷2 = 30° = AÔB، والزاويتان متجاورتان، إذن [OB) منصّف AÔx.
ابنِ H مسقط B على [Ox]. احسب BH.

إظهار التصحيح

[OB) منصّف AÔx و B عليه، فهي متساوية البعد عن ضلعيه: BH = BA = 4 صم.
هل الدائرة C(B;BI=3) مماسّة لـ (OH)؟

إظهار التصحيح

بُعد B عن (OH) = BH = 4 صم و r = 3 صم. بما أنّ 3 < 4 فـ (OH) ليس مماسّا، بل منفصل عن الدائرة.

التمرين 09مثلَّث ومنصّف ومسقط ودائرة مماسّة

مثلَّث ABC حيث AB = 6 صم، ABC = 55°، BAC = 70°.

مثلَّث ABC: AB = 6 صم، ABC = 55°، BAC = 70°.
احسب ACB.

إظهار التصحيح

ACB = 180° − (55° + 70°) = 55° (مجموع زوايا المثلّث).
ابنِ منصّف BÂC يقطع [BC] في I، و J مسقط B على (AC). ما نوع المثلّث AIJ؟

إظهار التصحيح

BÂI = 35° ومنه BÎA = 180° − (35° + 55°) = 90°: (AI) ⊥ (BC).
المثلّث AIJ قائم الزاوية.
(AI)∩(BJ)=O، Δ⊥(AB) من O يقطع (AB) في K. بيّن أنّ OJ = OK.

إظهار التصحيح

O على منصّف الزاوية عند A، فهي متساوية البعد عن ضلعيها (AB) و(AC): OJ = OK.
دائرة C(O;OK). وضعيتها مع (AC)؟

إظهار التصحيح

OJ = OK = الشعاع، و OJ هو بُعد O عن (AC)، إذن (AC) مماسّ للدائرة في J.

التمرين 10زوايا مركزية وقطر وزاوية قائمة

زاوية xÔy = 50°، دائرة C(O;5 صم)، A على [Ox) و B على [Oy) من الدائرة.

زاوية xÔy = 50°، دائرة C(O;5 صم)، A و B من الدائرة على الضلعين.
ابنِ I من الدائرة بحيث AÔI = 130° و AÔI و xÔy متجاورتان.

إظهار التصحيح

OA = OB = OI = 5 صم (نقاط من الدائرة). نحمل الزاوية 130° من [Ox).
برهن أنّ O منتصف [BI].

إظهار التصحيح

AÔB = 50° و AÔI = 130° متجاورتان ومتكاملتان (المجموع 180°)، إذن B و O و I على استقامة واحدة.
وبما أنّ OB = OI فإنّ O منتصف [BI].
تحقّق أنّ (AB) ⊥ (AI).

إظهار التصحيح

[BI] قطر للدائرة و A نقطة منها، فالزاوية BÂI قائمة (زاوية مرسومة على قطر).
إذن (AB) ⊥ (AI).

التمرين 11دائرة ومتوسّط عمودي ومماسّات

زاوية xÔy = 60°، دائرة (C) مركزها O شعاعها 4 صم، تقطع الضلعين في A و B.

زاوية xÔy = 60°، دائرة C(O;4 صم)، A و B على الضلعين.
ابنِ (Δ) ⊥ (OA) من B يقطع [OA] في I. تحقّق أنّ I منتصف [OA] واستنتج AB.

إظهار التصحيح

(Δ) ⊥ [OA] في منتصفها I، فهو المتوسّط العمودي لـ [OA]، و B عليه.
إذن AB = BO = 4 صم.
ابنِ المماسّ (Δ') في B، يقطع [Ox) في C. احسب OĈB.

إظهار التصحيح

OBC = 90° (مماسّ) و BOC = 60°، إذن OĈB = 90° − 60° = 30°.
ابنِ [Cz) بحيث [CO) منصّف BĈz. بيّن أنّ [Cz) مماسّ للدائرة.

إظهار التصحيح

O على منصّف BĈz فهو متساوي البعد عن ضلعيه، وبُعده عن [CB) = الشعاع (مماسّ في B).
إذن بُعد O عن [Cz) = الشعاع، ومنه [Cz) مماسّ للدائرة.

التمرين 12استقامة وزوايا ودائرة ومماسّان

AB = 3 صم، BC = 4 صم، BE = 2 صم (زوايا معطاة 40° و70° و30°).

AB=3، BC=4، BE=2 صم ؛ زوايا 40°، 70°، 30° حول B.
احسب CBE و ABD واستنتج أنّ A و B و C على استقامة واحدة.

إظهار التصحيح

CBE = 90° − 30° = 60° و ABD = 90° − 40° = 50°.
ABC = 50° + 70° + 60° = 180°، إذن A و B و C على استقامة واحدة.
اذكر زاويتين متتامتين وزاويتين متكاملتين.

إظهار التصحيح

زاويتان متتامتان: مجموعهما 90° (من مثلّث قائم في الشكل).
زاويتان متكاملتان: مجموعهما 180° (زاويتان متجاورتان على المستقيم (AC)).
دائرة C(B;2,5). وضعيتها مع (AD) ومع (CE)؟

إظهار التصحيح

بُعد B عن (AD) = 3 > 2,5 = r → منفصلان.
بُعد B عن (CE) = 2 < 2,5 = r → متقاطعان.
هل CBE و ABD متجاورتان؟ وهل CBD و ABD متجاورتان؟

إظهار التصحيح

CBE و ABD ليستا متجاورتين (لا تشتركان في ضلع، فقط الرأس B).
CBD و ABD متجاورتان (تشتركان في الضلع [BD]).
الدائرة تقطع [BC] في I و[BD] في J، المماسّان Δ وΔ' يتقاطعان في M. بيّن Δ∥(AD)، احسب IMJ، بيّن [MB] منصّف IMJ.

إظهار التصحيح

Δ ⊥ [BI] و [BI] على (AC) و (AD) ⊥ (AC)، إذن Δ ∥ (AD).
IBJ = 60° + 70° = 130° ومنه IMJ = 360° − (90° + 90° + 130°) = 50°.
B متساوي البعد عن [MI] و[MJ] (شعاعان)، إذن [MB] منصّف IMJ.

التمرين 13زاوية قائمة ومتوسّط عمودي ومنصّف

زاوية قائمة xÂy، B على [Ay)، C على قاطع، ÂBC = 50° و AB = 3 صم.

زاوية قائمة في A، B على [Ay)، ÂBC = 50°، AB = 3 صم.
احسب ÂCB واستنتج xĈy.

إظهار التصحيح

في المثلّث ABC: AĈB = 180° − (90° + 50°) = 40°.
xĈy = AĈB = 40° (متقابلتان بالرأس).
أثبت أنّ ĈBA و ŷCx متتامّتان.

إظهار التصحيح

CBA + xĈy = 50° + 40° = 90°، إذن الزاويتان متتامّتان.
D على (Az] حيث AD = 3 صم. بيّن أنّ (AC) متوسّط عمودي لـ [DB] واستنتج CB = CD.

إظهار التصحيح

A منتصف [DB] (AD = AB = 3) و (AC) ⊥ [DB] في منتصفها، إذن (AC) متوسّط عمودي لـ [DB].
و C على المتوسّط العمودي، إذن CB = CD.
E على منصّف CBA حيث ABE = 25°. احسب BÊA. ثمّ F مسقط E على (BC): بيّن FE = AE.

إظهار التصحيح

في المثلّث AEB القائم في A: BÊA = 180° − (90° + 25°) = 65°.
E على منصّف الزاوية عند B، و A و F مسقطاه على الضلعين، إذن FE = AE.

التمرين 14استقامة وزوايا متكاملة ومنصّف ومماسّ

A و B و C على استقامة واحدة، [Cx) يصنع 60° مع امتداد [AC).

A، B، C على استقامة واحدة ؛ [Cx) يصنع 60° مع امتداد [AC).
احسب معلّلا ÂBC و ÂCB و ÂCx.

إظهار التصحيح

AĈB = 180° − (90° + 60°) = 30°.
AĈx = 180° − 60° = 120° (متجاورتان ومتكاملتان).
ابنِ [Cz) منصّف ÂCx. احسب ÂCz وحدّد منصّف BĈz.

إظهار التصحيح

AĈz = 120° ÷ 2 = 60°.
وبما أنّ BĈA = AĈz = 60° فإنّ [CA) هو منصّف الزاوية BĈz.
دائرة C(B;2) تقطع [AB] في I. وضعيتها مع [Ay)؟ ابنِ المماسّ Δ في I وعلاقته بـ (Ay).

إظهار التصحيح

بما أنّ BI < BA فالدائرة و [Ay) منفصلان.
Δ ⊥ (BA) (مماسّ في I) و (Ay) ⊥ (BA)، إذن Δ ∥ (Ay).

أسئلة الزوايا فقط، مستخرجة من فروض حقيقية متعددة الفصول.

⚠️ Aucun exercice sur les angles trouvé dans ce devoir (c17 porte exclusivement sur droites/médiatrice/tangence à ce stade du trimestre — voir la page Droites7 pour ce contenu).

أسئلة الزوايا فقط، مستخرجة من فروض حقيقية متعددة الفصول.

التمرين 01التمرين رقم 1 (Vrai/Faux) — السؤال 4 — فرض مراقبة عدد 2 — مثال رقم 1 — c271.html

ضع علامة X (✓) في الخانة المناسبة:

العبارة	صواب	خطأ
زاويتان متتامتان و متجاورتان هما متقايستان

إظهار التصحيح

✗ خطأ

التعريفات: زاويتان متتامتان: مجموعهما 90° ; زاويتان متجاورتان: نفس الرأس وضلع مشترك ; زاويتان متقايستان: نفس القيس

مثال مضاد: لنأخذ زاويتين متجاورتين: α = 30° و β = 60°. هما متتامتان: 30° + 60° = 90° ✓. هما متجاورتان ✓. لكن: 30° ≠ 60° ✗. إذن هما ليستا متقايستين ✗.

الحالة الخاصة: الزاويتان المتتامتان والمتجاورتان تكونان متقايستين فقط في حالة واحدة: عندما تكون كل زاوية = 45°. لكن العبارة تقول "هما متقايستان" كقاعدة عامة، وهذا خاطئ.

ملاحظة مهمة: مثلث 30°-60°-90°: الزاويتان 30° و 60° متتامتان لكن غير متساويتين ✗. مثلث 45°-45°-90°: الزاويتان 45° و 45° متتامتان ومتساويتين ✓ (حالة خاصة).

التمرين 02التمرين رقم 1 (Vrai/Faux) — السؤال 6 — فرض مراقبة عدد 2 — مثال رقم 1 — c271.html

العبارة: زاويتان متقايستان هما متقابلتان بالرأس

إظهار التصحيح

✗ خطأ

التعريفات: زاويتان متقايستان: نفس القيس ; زاويتان متقابلتان بالرأس: تتكونان من تقاطع مستقيمين ولا تكونان متجاورتين.

القاعدة الصحيحة: كل زاويتين متقابلتين بالرأس هما متقايستان (صحيح). لكن العكس ليس صحيحاً: ليس كل زاويتين متقايستين هما متقابلتان بالرأس.

أمثلة مضادة: زوايا المثلث المتساوي الأضلاع جميعها متقايسة (60°) لكنها ليست متقابلة بالرأس. زاويتان حادتان كل منهما 30° في موقعين مختلفين - متقايستان لكن ليستا متقابلتين بالرأس.

التمرين 03التمرين رقم 4 — فرض مراقبة عدد 2 — مثال رقم 1 — c271.html

معطى شكل هندسي بزوايا: الزاوية عند C = 28.0°، الزاوية عند B = 62.0°

1) أذكر زاويتين:

متجاورتين: ............................
متكاملتين: ............................
متتامتين: ............................
غير متجاورتين: ............................
متقابلتين بالرأس: ............................

2) أكمل الجملة التالية: منصف الزاوية هو مجموعة ...................................................................

إظهار التصحيح

ملاحظة: النص المتوفر يذكر فقط قيسي زاويتين (28° عند C و62° عند B) دون الرسم الذي يحدد مواقع النقاط A وx وy المستعملة في السؤال. فيما يلي ما يمكن إثباته بيقين من المعطيات العددية وحدها، مع تذكير بتعريف بقية الأصناف دون تعيين أزواج محددة تحتاج إلى الرسم.

متتامتين (الزاويتان المعطاتان): 28° + 62° = 90°. إذن الزاويتان اللتان قيساهما 28° و62° متتامتان (مجموعهما 90°).

أما بقية الأصناف (متجاورتين، متكاملتين، غير متجاورتين، متقابلتين بالرأس) فتتطلب تعيين أزواج محددة من الزوايا انطلاقا من الرسم، وهو غير متوفر في النص المنقول؛ لا يمكن تعيينها دون اختراع معطيات. للتذكير بتعريفاتها: متجاورتان: نفس الرأس وضلع مشترك، وتقعان في جهتين مختلفتين من هذا الضلع. متكاملتان: مجموع قيسيهما 180°. غير متجاورتين: ليس لهما ضلع مشترك (حتى لو كان لهما نفس الرأس). متقابلتان بالرأس: تنتجان عن تقاطع مستقيمين، وضلعا إحداهما امتداد لضلعي الأخرى.

السؤال 2: منصف الزاوية هو نصف المستقيم المنطلق من رأس الزاوية والذي يقسمها إلى زاويتين متقايستين. خاصيته المميزة: كل نقطة من منصف زاوية تبعد بنفس المسافة عن ضلعي هذه الزاوية.

⚠️ Figure manquante dans l'énoncé source : seules les valeurs 28° et 62° sont transcrites, sans le dessin nécessaire pour nommer précisément les paires d'angles adjacents/supplémentaires/non-adjacents/opposés par le sommet.

التمرين 04التمرين رقم 5 (البسط الكامل) — فرض مراقبة عدد 2 — نسخة 2 — c272.html

لاحظ الرسم التالي حيث:

[AC] هو منصف الزاوية BAH
∠BCH = 120° و ∠BAE = ∠BAH = 60°
IH = 2.25cm و CH = CB = 1.5cm

1) أحسب ∠BAC ثم ∠ACB

2) بين أن AB = AH

3) بين أن (AH) مماس للدائرة (C) التي مركزها I و تمر من H

4) بين أن B و H متناظرتان بالنسبة لـ (AC)

5) استنتج أن (AE) // (BH)

6) أ) ابن N مناظرة E بالنسبة لـ (AC). ب) بين أن N نقطة من المستقيم (CH). ج) استنتج أن CN = 6cm

7) أ) ابن النقطة F بحيث يكون المثلث ANF متقايس الأضلاع و F ليست في نفس جهة I بالنسبة إلى (AN). ب) بين أن (NF) مماس للدائرة (C) في N

إظهار التصحيح

ملاحظة أولية: النص المتوفر لا يتضمن الرسم الأصلي. النتائج المطلوبة بدءا من السؤال (2) (AB=AH فما بعدها) تتوقف على وضعية النقطة C بالنسبة للقطعة [BH] كما تظهر في الرسم، ولا يمكن إثباتها بيقين من المعطيات العددية وحدها: تحديد ∠ACB أو ∠AHC من قيس ∠BAC=30° وCB=CH=1.5cm فقط يقع في الحالة الغامضة رياضيا "ضلع-زاوية-ضلع غير محصور" (لا يوجد طول AC معطى لحسم الأمر)، وهي حالة تتطلب رؤية الرسم لتحديد التوضّع الصحيح. فيما يلي ما يمكن إثباته بيقين من النص وحده:

1) بما أن [AC] منصف الزاوية BAH: ∠BAC = ∠CAH = ∠BAH ÷ 2 = 60° ÷ 2 = 30°. في المثلث BCH: CB=CH=1.5cm (معطى)، فهو متقايس الضلعين قمته C. مجموع زواياه 180°: ∠CBH = ∠CHB = (180° - ∠BCH) ÷ 2 = (180° - 120°) ÷ 2 = 30°.

حول الأسئلة 2 إلى 7: لإثبات AB=AH، ثم تماس (AH) مع الدائرة، ثم تناظر B وH بالنسبة لـ(AC) وما يليها من نتائج (CN=6cm، إنشاء F...)، يلزم معرفة طول AC أو موضع C بدقة بالنسبة لـB وH كما يظهر في الرسم الأصلي؛ هذه المعطيات غائبة عن النص المنقول. لا يمكننا إذن إكمال هذه الأسئلة دون افتراض معطيات غير موجودة في المصدر.

⚠️ Figure source manquante : au-delà de ∠BAC=30° et ∠CBH=∠CHB=30° (démontrables), les questions 2 à 7 (AB=AH, tangence, symétrie B/H, CN=6cm, construction F) dépendent de la position exacte de C par rapport à [BH] visible sur la figure (cas SSA ambigu sans elle, aucune longueur AC n'étant donnée).

التمرين 05التمرين رقم 5 (هندسة) — فرض مراقبة عدد 2 — نسخة 4 — c274.html

في الرسم المرافق: (BE) // (AC)، ∠DAC = 55°، ∠BAF = 35°، AB = 3، EB = 2.

① أ- بيّن أنّ المستقيمين (AB) و (AC) متعامدان.

ب- استنتج أنّ المستقيمين (AB) و (BE) متعامدان.

② حدّد بعد النقطة E عن المستقيم (AC). علّل جوابك.

③ لتكن C دائرة مركزها E وتمر من B.

أ- ما هي الوضعية النسبية للدائرة C والمستقيم (AC)؟ علّل جوابك.

ب- ما هي الوضعية النسبية للدائرة C والمستقيم (AB)؟ علّل جوابك.

④ أكمل بما يناسب:

أ- الزاويتان ∠DAC و ∠BAF ..................

ب- الزاويتان ∠DAC و .................. متجاورتان ومتكاملتان.

إظهار التصحيح

① أ) النقاط F، A، D على استقامة واحدة (∠FAD=180°). ∠BAC = ∠FAD - ∠BAF - ∠DAC = 180° - 35° - 55° = 90°. إذن (AB) ⊥ (AC).

① ب) (BE) // (AC) و (AB) ⊥ (AC) ⇒ (AB) ⊥ (BE).

② بعد E عن (AC) = المسافة بين المتوازيين (BE) و (AC) = AB = 3 cm.

③ أ) R = EB = 2cm، d = 3cm > R ⇒ الدائرة و (AC) خارجيان (لا يتقاطعان).

③ ب) d(E,(AB)) = EB = 2cm = R ⇒ الدائرة و (AB) متماسان.

④ أ) ترتيب الأشعة انطلاقا من [AD): [AD)، ثم [AC) (بزاوية 55°)، ثم [AB) (بزاوية 55°+90°=145°)، ثم [AF) (بزاوية 145°+35°=180°، أي [AF) هو الشعاع المقابل لـ[AD)، بما يوافق استقامة F،A،D). لكي تكونا متقابلتين بالرأس، يجب أن يكون ضلعا إحدى الزاويتين امتدادا لضلعي الأخرى، أي هنا يلزم أن يكون [AB) الشعاع المقابل لـ[AC) (بزاوية 180° بينهما)؛ لكن ∠CAB=90°≠180°، فهذا الشرط غير متحقق. كما أن ∠DAC و∠BAF ليس لهما أي ضلع مشترك، فهما إذن غير متجاورتين (وليستا متقابلتين بالرأس).

④ ب) نبحث عن زاوية مجاورة لـ∠DAC (ضلع مشترك معها) ومكملة لها (مجموعهما 180°). بما أن F،A،D على استقامة واحدة و[AC) يقع بينهما: ∠DAC + ∠CAF = ∠DAF = 180°. ولدينا ∠CAF = ∠CAB + ∠BAF = 90° + 35° = 125°. تحقق: 55° + 125° = 180° ✓. إذن الزاويتان ∠DAC و∠CAF متجاورتان ومتكاملتان.

التمرين 06التمرين عدد 1 (QCM) — السؤال 3 — فرض مراقبة عدد 2 — نسخة 5 — c275.html

3) زاويتان متقابلتان بالرأس و قيس إحداهما 45° إذن هما:

☑ متتامتان

☐ متكاملتان

☐ متجاورتان

إظهار التصحيح

الزاويتان المتقابلتان بالرأس متساويتان في القيس. إذن: قيس الزاوية الثانية = 45°. مجموع الزاويتين = 45° + 45° = 90°. إذن: الزاويتان متتامتان (مجموعهما 90°). الإجابة الصحيحة: ☑ متتامتان

التمرين 07التمرين عدد 4 (شبه المنحرف) — فرض مراقبة عدد 2 — نسخة 5 — c275.html

يمثل الشكل التالي شبه منحرف ABCD قائما في A و D وحيث: قيس الزاوية BCD = 50° و قيس الزاوية ABD = 40°

(1) أحسب كلا من قيس الزاوية BDC و قيس الزاوية ABC معللاً جوابك.

(2) استنتج أن المستقيم (DB) عمودي على المستقيم (BC).

إظهار التصحيح

أ) حساب BDC: ABCD شبه منحرف قائم في A و D، إذن [AB] و [CD] متوازيتان. (DB) قاطع للمستقيمين المتوازيين. الزاويتان ABD و BDC متبادلتان داخلياً. إذن قيس BDC = قيس ABD = 40°.

ب) حساب ABC: قيس ABC = قيس ABD + قيس DBC. في المثلث BCD: قيس DBC = 180° - (BCD + BDC) = 180° - (50°+40°) = 90°. إذن قيس ABC = 40° + 90° = 130°.

2) قيس الزاوية بين (DB) و (BC) هو DBC = 90°. بما أن الزاوية بين المستقيمين تساوي 90°، فإن المستقيمين متعامدان: (DB) ⊥ (BC).

التمرين 08التمرين عدد 5 (هندسة الدائرة) — فرض مراقبة عدد 2 — نسخة 5 — c275.html

تأمل الشكل التالي حيث قيس الزاوية xOy = 37°

(1) أ- عين على نصف المستقيم [Ox) نقطة A بحيث OA = 4 cm ثم ارسم دائرة (C) مركزها O و تمر من A.

ب- ابن المستقيم Δ المماس لـ (C) في A. يقطع [Oy) في B. أحسب قيس الزاوية OBA معللاً جوابك.

(2) ابن المستقيم Δ' الموسط العمودي لـ [OA] والذي يقطع [Oy) في I.

أ- حدد بعد النقطة O عن المستقيم Δ' معللاً جوابك.

ب- استنتج الوضعية النسبية للدائرة (C) والمستقيم Δ'.

(3) المستقيم Δ' يقطع الدائرة (C) في نقطتين إحداهما D. بيّن أن: AD = 4 cm.

إظهار التصحيح

1) Δ مماس في A ⇒ Δ عمودي على [OA] ⇒ المثلث OAB قائم الزاوية في A (قيس OAB=90°). مجموع زوايا المثلث=180°: قيس OBA = 180° - (AOB + OAB) = 180° - (37°+90°) = 53°.

2 أ) Δ' الموسط العمودي لـ [OA]، M منتصف [OA]. البعد من O إلى Δ' = OM = OA/2 = 2cm.

2 ب) R = OA = 4cm، d = 2cm، d < R ⇒ Δ' قاطع للدائرة (C).

3) D تنتمي إلى Δ' (الموسط العمودي لـ [OA]) ⇒ خاصية الموسط العمودي: كل نقطة تنتمي إليه متساوية البعد عن طرفي القطعة ⇒ AD = OD. D تنتمي أيضاً إلى الدائرة (C) مركزها O وشعاعها R=OA=4cm ⇒ OD=4cm. بالتعويض: AD = OD = 4cm.

التمرين 09التمرين رقم 1 — 3) التعاريف الهندسية — فرض مراقبة عدد 2 — نسخة 6 — c276.html

3) التعاريف الهندسية:

الزاويتان اللتان مجموعهما 90° هما زاويتان متتامتان.
الزاويتان اللتان مجموعهما 180° هما زاويتان متكاملتان.

إظهار التصحيح

3) التعاريف الهندسية — تصويب/تأكيد:

العبارة الأولى صحيحة: زاويتان متتامتان هما زاويتان مجموع قيسيهما 90°. مثال: 30° و60° زاويتان متتامتان لأن 30°+60°=90°.

العبارة الثانية صحيحة: زاويتان متكاملتان هما زاويتان مجموع قيسيهما 180°. مثال: 110° و70° زاويتان متكاملتان لأن 110°+70°=180°.

ملاحظة: التتام (90°) والتكامل (180°) خاصيتان تتعلقان فقط بمجموع قيسي الزاويتين، بصرف النظر عن كونهما متجاورتين أو لا.

التمرين 10التمرين رقم 1 (3) — إنشاء أنصاف مستقيمات — فرض مراقبة عدد 2 — نسخة 8 — c278.html

(3) نعتبر الرسم التالي (دائرة مركزها I مماسّة لـ (Oy) في C وتقطع (Ox) في A و B):

أ- أرسم نصف المستقيم (Ot] إذا علمت أن ∠xOt و ∠xOy زاويتان متجاورتان ومتكاملتان.
ب- أرسم نصف المستقيم (Ou] إذا علمت أن ∠xOy و ∠yOu زاويتان متجاورتان ومتتامتان.
ج- عيّن النقطة I (مركز الدائرة) مع ترك أثر البركار.

إظهار التصحيح

أ) إنشاء [Ot): الزاويتان ∠xOt و∠xOy متجاورتان (الضلع المشترك [Ox)) ومتكاملتان (مجموعهما 180°). بما أنهما متجاورتان وتشتركان في [Ox)، فإن ضلعيهما الآخرين [Oy) و[Ot) يشكلان معا زاوية مجموعها 180°، أي هما نصفا مستقيم متقابلان: O تقع بين y وt على استقامة واحدة. الإنشاء: [Ot) هو الشعاع المقابل لـ[Oy) (امتداد المستقيم (Oy) في الاتجاه الآخر).

ب) إنشاء [Ou): الزاويتان ∠xOy و∠yOu متجاورتان (الضلع المشترك [Oy)) ومتتامتان (مجموعهما 90°). بما أنهما متجاورتان، فإن الزاوية الكلية ∠xOu = ∠xOy + ∠yOu = 90°. الإنشاء: نرسم [Ou) بحيث تكون الزاوية ∠xOu قائمة (أي (Ou) ⊥ (Ox))، مع وضع [Ou) بحيث تقع [Oy) بين [Ox) و[Ou).

ج) تعيين مركز الدائرة I: بما أن الدائرة مماسّة لـ (Oy) في C، فإن نصف القطر [IC] عمودي على (Oy) في C. إذن I تنتمي إلى المستقيم العمودي على (Oy) في C. وبما أن الدائرة تقطع (Ox) في نقطتين A و B، فإن مركز الدائرة I ينتمي إلى الموسط العمودي لقطعة المستقيم [AB]. تعيين I هو نقطة تقاطع هذين المستقيمين (مع ترك أثر البركار).

التمرين 11التمرين رقم 4 (5 نقاط) — هندسة — فرض مراقبة عدد 2 — نسخة 8 — c278.html

نعتبر الرسم التالي حيث B, A, C, H نقاط من مستقيم أفقي، BA ⊥ AC, MH ⊥ CH و MK ⊥ BC. [انظر الرسم المرافق في الملف الأصلي] حيث MH=4 cm و ∠MCH = 25°.

(1) سم زاوية متممة لـ ∠ACB (في حالة ∠BAC = 90°)

(2) سم زاوية مكملة لـ ∠CMH.

(3) أحسب ∠CMH معللاً جوابك (في المثلث MCH القائم في H).

(4) استنتج أن (CM] هو منصف الزاوية ∠KCH إذا علمت أن MK = 4 cm (خاصية منصف زاوية).

(5) أحسب MK معللاً جوابك.

إظهار التصحيح

1) بما أن ∠BAC=90° (المثلث BAC قائم في A)، فإن الزاويتين ∠ACB و ∠ABC متتامتان (مجموعهما 90°). الزاوية المتممة لـ ∠ACB هي: ∠ABC.

2) نمدد القطعة [CM] إلى ما بعد M لنحصل على نقطة C' (بحيث C، M، C' على استقامة واحدة). الزاويتان ∠CMH و ∠C'MH متجاورتان (الضلع المشترك [MH)) وتشكلان معا الزاوية المستقيمة ∠CMC'=180°؛ فهما إذن متكاملتان. الزاوية المكملة لـ ∠CMH هي: ∠C'MH (حيث C' امتداد [CM) بعد M).

3) في المثلث MCH القائم الزاوية في H: مجموع زوايا المثلث = 180°. ∠CMH = 180° - (∠MHC + ∠MCH) = 180° - (90°+25°) = 65°.

4) معطى في هذا السؤال: MK = 4cm. ولدينا أيضا MH = 4cm (معطى أصلي للتمرين). بما أن MK ⊥ (CK) و MH ⊥ (CH)، فإن MK وMH هما بعدا M عن ضلعي الزاوية ∠KCH. بما أن MK = MH = 4cm، فإن M متساوية البعد عن ضلعي ∠KCH، وحسب عكس خاصية منصف الزاوية: (CM] هو منصف الزاوية ∠KCH.

5) القيمة MK=4cm معطى صريح لهذا التمرين منذ البداية (وأعيد التذكير به كفرضية في نص السؤال 4)؛ فلا يمكن "حسابها" بشكل مستقل عن ذلك دون معطى إضافي (كطول CK أو قيس ∠MCK) غير متوفر في النص. تعليل قيمتها هو بالضبط خاصية منصف الزاوية المثبتة في (4): بما أن (CM] ينصف ∠KCH، فإن M متساوية البعد عن ضلعيه، أي MK=MH=4cm.

⚠️ La question (5) demande de « calculer MK », mais MK=4cm est donné explicitement comme hypothèse de la question (4) elle-même — cette valeur ne peut donc pas être établie indépendamment sans donnée supplémentaire (CK ou ∠MCK) absente du texte source.

التمرين 12التمرين رقم 3 (5 نقاط) — هندسة — فرض مراقبة عدد 2 — نسخة 11 — c2711.html

تأمل الشكل التالي حيث O نقطة من (xy)، ∠xOz = 43° و ∠yOt = 47°.

(1)

أ) اذكر زاويتين متتامتين.

ب) اذكر زاويتين متكاملتين.

ج) بيّن أن (Ot) عمودي على (Oz) (أي ∠tOz = 90°).

(2) عيّن I نقطة من [Oz) حيث OI=3cm و J نقطة من (OI) مخالفة لـ O حيث OJ=3cm.

أ- بيّن أن المستقيم (Ot) هو الموسط العمودي لـ [IJ].

ب- ارسم H المسقط العمودي لـ I على (xy) (المستقيم (x'Ox)).

ج- قارن بين OH و IO مع التعليل.

(3) ارسم دائرة (C) مركزها O و تمر من H.

أ- ما هي الوضعية النسبية لـ (C) و (IH) ؟ علل جوابك.

ب- ابن المستقيم Δ المار من I والعمودي على (OI). ما هي الوضعية النسبية لـ (C) و Δ ؟ علل جوابك.

ج- بيّن أن Δ مواز لـ (Ot).

(4) احسب ∠yOJ معللاً جوابك.

(5) الدائرة (C) تقطع [Ot) في نقطة M. بيّن أن IM = JM. (تم تعديل المطلوب من IM=IJ الذي لا يمكن إثباته بدون حسابات معقدة)

إظهار التصحيح

1) أ) زاويتان متتامتان: ∠xOz = 43° و ∠yOt = 47° (مجموع قيسيهما 43°+47°=90°).

ب) زاويتان متكاملتان: ∠xOz و ∠zOy (متجاورتان على مستقيم). أو ∠yOt و ∠tOx.

ج) ∠tOz = 180° - (∠xOz + ∠yOt) = 180° - (43°+47°) = 90°. بما أن ∠tOz = 90°، فإن (Ot) ⊥ (Oz).

2 أ) I ∈ [Oz)، J ∈ (OI)، OJ=OI=3cm، O≠J ⇒ O منتصف [IJ] على (Oz). O ∈ (Ot) و (Ot)⊥(Oz) ⇒ (Ot) الموسط العمودي لـ [IJ].

2 ج) في المثلث IOH القائم في H، [IO] هو الوتر، الوتر أطول ضلع ⇒ IO > OH.

3 أ) R=OH، d(O,(IH))=OH (لأن (IH)⊥(xy) في H) ⇒ d=R ⇒ (IH) مماس للدائرة (C) في H.

3 ب) d(O,Δ)=OI=3cm، R=OHR ⇒ الدائرة (C) والمستقيم Δ منفصلان.

3 ج) (Ot)⊥(Oz) و Δ⊥(OI) أي Δ⊥(Oz) ⇒ Δ و (Ot) عموديان على نفس المستقيم (Oz) ⇒ متوازيان.

4) J على نصف المستقيم المعاكس لـ [Oz) (نسميه [Oz')). ∠xOz و ∠yOz' متقابلتان بالرأس، إذن قيسهما متساوٍ. ∠yOJ = ∠yOz' = ∠xOz = 43°.

5) OI=OJ=3cm. OM=R (نصف قطر) و M∈[Ot) ⇒ [OM]⊥[IJ]. △OIM و △OJM قائما الزاوية في O (∠IOM=∠JOM=90°). OI=OJ و OM ضلع مشترك ⇒ △OIM≅△OJM (ضلع-زاوية قائمة-ضلع). النتيجة: IM=JM. ملاحظة: المطلوب الأصلي IM=IJ غير صحيح رياضياً بالقيم المعطاة.

التمرين 13التمرين رقم 1 — أسئلة 4 و 5 (صواب/خطأ) — فرض مراقبة عدد 2 — نسخة 12 — c2712.html

(4) زاويتان لهما نفس الرأس هما متجاورتان.

خطأ

صواب

(5) زاويتان لهما نفس الرأس و متقايستان هما زاويتان متقابلتان بالرأس.

خطأ

صواب

إظهار التصحيح

4) خطأ. لتكون الزاويتان متجاورتان، يجب أن تشتركا في الرأس والضلع، وأن تكونا في جهتين مختلفتين بالنسبة للضلع المشترك.

5) خطأ. الزاويتان المتقابلتان بالرأس هما متقايستان حتماً، ولكن العكس ليس صحيحاً (مثال: زاويتان قائمتان متجاورتان).

التمرين 14التمرين رقم 3 (5 نقاط) — هندسة — فرض مراقبة عدد 2 — نسخة 12 — c2712.html

لتكن (C) دائرة مركزها I و A نقطة منها حيث IA = 3cm (أي الشعاع R=3cm).

(1) أ- ابن نقطة B من الدائرة (C) بحيث ∠AIB=90°.

(1) ب- ابن المستقيم (Δ) المماس للدائرة (C) في النقطة A.

(1) ج- بين أن المستقيمين (Δ) و (IB) متوازيان.

(2) عين نقطة C من (Δ) بحيث AC=4cm وحيث تكون الزاويتان ∠AIC و ∠BIC متجاورتان.

(3) أ- ابن المستقيم (Δ') المار من C و العمودي على المستقيم (IA).

(3) ب- حدد الوضعية النسبية للمستقيمين (Δ') و (IA). ثم استنتج بعد النقطة I عن (Δ').

(3) ج- ماهي الوضعية النسبية للدائرة (C) والمستقيم (Δ') ؟ علل جوابك.

(4) المستقيمان (AI) و (CI) يقطعان الدائرة (C) على التوالي في النقطتين E و F.

(5) بقراءة للشكل:

أ- أوجد زاويتين متقابلتين بالرأس. ب- أوجد زاويتين متكاملتين. ت- أوجد زاويتين متتامتين و غير متجاورتين.

إظهار التصحيح

1 ج) (Δ)⊥(IA) (مماس) و (IB)⊥(IA) (لأن ∠AIB=90° من الإنشاء) ⇒ (Δ) و (IB) عموديان على نفس المستقيم (IA) ⇒ متوازيان.

3 ب) (Δ')⊥(IA) من الإنشاء، و(Δ)⊥(IA) في A أيضاً، و C∈(Δ). المستقيم العمودي على (IA) والمار من C هو نفسه (Δ). إذن (Δ') ينطبق على (Δ). البعد d(I,Δ')=IA=3cm.

3 ج) R=3cm، d(I,Δ')=3cm ⇒ d=R ⇒ الدائرة (C) والمستقيم (Δ') متماسان في A.

4 و5) المستقيمان (AE) و (CF) يتقاطعان في I (لأن A,I,E على استقامة واحدة و C,I,F على استقامة واحدة).

أ- زاويتان متقابلتان بالرأس: ∠AIC و ∠EIF.

ب- زاويتان متكاملتان: ∠AIC و ∠EIC (متجاورتان على المستقيم (AE)).

ت- زاويتان متتامتان وغير متجاورتين: المثلث IAC قائم الزاوية في A (لأن (Δ)⊥(IA)). مجموع الزاويتين الحادتين = 90°. الزاويتان هما: ∠AIC و ∠ACI.

التمرين 15التمرين رقم 4 (5 نقاط) — فرض مراقبة عدد 2 — نسخة 13 — c2713.html

في الشكل التالي: ∠xOy=32° و الزاوية ∠xOv منبسطة ونصف المستقيم [Oy) منصف الزاوية ∠xOz.

∠yOv=180°

رسم بياني يمثل زوايا حول الرأس O

1) أ) أحسب القيس ∠zOy. ب) استنتج أن الزاويتين ∠yOt و ∠yOz متكاملتان

2) أ) ابن نصف المستقيم [Ou) منصف الزاوية ∠xOy. ب) أحسب القيس ∠uOz. ج) استنتج أن الزاويتين ∠xOy و ∠zOr متتامتان

3) أ) أرسم على الشكل نصف المستقيم [Or) بحيث: ∠yOr=180°. ب) بين أن (Or) ⊥ (Ou)

4) أرسم على نفس الشكل الدائرة التي قطرها [OB] حيث B نقطة من [Oy). هذه الدائرة تقطع [Ox) في A و تقطع [Oz) في C. إذا علمت أن (AB) ⊥ (Oy) و (BC) ⊥ (OC) وأن OA = OC. بين أن المستقيم (OB) هو الموسط العمودي للقطعة [AC]

إظهار التصحيح

ملاحظة أولية: يذكر النص أن ∠xOv زاوية منبسطة (180°) ثم يذكر أيضا بشكل منفصل "∠yOv=180°"؛ هذان الأمران متناقضان مع المعطى ∠xOy=32° (لو كانا صحيحين معا للزم أن يكون x وO وy أيضا على استقامة واحدة، أي ∠xOy=0°، بخلاف المعطى). سنعتمد على المعطى المتناسق مع بقية التمرين (∠xOv منبسطة)، ونتجاهل السطر المتناقض.

1أ) [Oy) منصف ∠xOz يعني ∠xOy = ∠yOz. بما أن ∠xOy = 32°، فإن ∠zOy = 32° (وبذلك ∠xOz = ∠xOy+∠yOz = 64°).

1ب) النقطة "t" غير معرّفة في المعطيات المنقولة (لا يوجد أي تعريف سابق لهذا الشعاع في النص). لا يمكن بالتالي إثبات أو نفي أن ∠yOt و∠yOz متكاملتان دون معرفة موضع [Ot)؛ الجزء القابل للحساب فعلا هنا هو ∠xOz = 64° (محسوب أعلاه).

2ب) [Ou) منصف ∠xOy ⇒ ∠xOu=∠uOy=16°. ∠uOz=∠uOy+∠yOz=16°+32°=48°.

2ج) الشعاع [Or) غير معرّف في النص عند هذه النقطة (تعريفه الوحيد المتوفر يأتي لاحقا في السؤال 3أ، حيث ∠yOr=180°). لا يمكن حساب ∠zOr دون هذا التعريف المسبق.

3ب) من 3أ: ∠yOr=180°، أي y وO وr على استقامة واحدة ((Or) امتداد (Oy)). ومن 2ب: ∠uOy=16°. بما أن (Or) امتداد (Oy): ∠uOr = 180° - ∠uOy = 180° - 16° = 164°. هذا لا يعطي تعامدا (90°) بين (Or) و(Ou) بالمعطيات المتوفرة والمتسقة؛ لا يمكن إذن إثبات (Or)⊥(Ou) دون معطى إضافي أو تصحيح لموضع [Or).

4) [OB] قطر الدائرة، A و C عليها ⇒ حسب مبرهنة الزاوية المحيطية النظرة لقطر (طالس في الدائرة): △OAB و △OCB قائما الزاوية في A و C على التوالي. OA=OC (معطى) والوتر OB مشترك بين المثلثين ⇒ △OAB ≅ △OCB (وتر-ضلع، حالة تقايس المثلثات القائمة) ⇒ AB=CB. بما أن O وB كلاهما متساويا البعد عن A وC (O لأن OA=OC، وB لأن BA=BC المستنتجة)، فإن (OB) هو الموسط العمودي للقطعة [AC].

⚠️ Énoncé source contradictoire : ∠xOv=180° et ∠yOv=180° sont incompatibles avec ∠xOy=32°, et les points t, r ne sont jamais définis avant leur usage — questions 1b, 2c, 3b indémontrables telles quelles (seules 1a, 2b et 4 sont résolues).

التمرين 16التمرين عدد 4 (6,5 نقاط) — فرض مراقبة عدد 2 — نسخة 14 — c2714.html

تأمل الشكل التالي حيث (C) دائرة مركزها O وشعاعها 3cm و A و B نقطتان من (C) و C نقطة من [OA] حيث OC = 1cm. I منتصف [AB].

1) بين أن النقطتين A و B متناظرتان بالنسبة إلى المستقيم (OI)

2) أ- ابن L المماس للدائرة (C) في النقطة A. يقطع (OI) في نقطة J. ب- بين أن OBJ مثلث قائم الزاوية في B

3) ابن D مناظرة C بالنسبة إلى المستقيم (OI). أ- بين أن النقاط O و D و B على استقامة واحدة. ب- بين أن الرباعي ABDC شبه منحرف. ج- بين أن BD=2cm

4) لتكن (C₁) دائرة مركزها A وشعاعها AC و (C₂) دائرة مركزها B وشعاعها BD. بين أن (C₁) و (C₂) متناظرتان بالنسبة إلى (OI)

إظهار التصحيح

1) OA=OB (نصفا قطر). △OAB متقايس الضلعين قمته O. I منتصف [AB] ⇒ [OI) الموسط المتعلق بالضلع [AB]. في المثلث المتقايس الضلعين، الموسط المتعلق بالقاعدة هو أيضاً الموسط العمودي للقاعدة. بما أن (OI) الموسط العمودي لـ [AB]، فإن A و B متناظرتان بالنسبة إليه.

2ب) L مماس في A ⇒ L⊥(OA) ⇒ (AJ)⊥(OA) ⇒ ∠OAJ=90°. J تنتمي إلى محور التناظر (OI). A و B متناظرتان بالنسبة لـ (OI) ⇒ △OAJ مناظر لـ △OBJ. التناظر يحفظ قيس الزوايا ⇒ ∠OBJ=∠OAJ=90°. المثلث OBJ قائم الزاوية في B.

3أ) O، C، A على استقامة واحدة (C∈[OA]). D مناظرة C، B مناظرة A، O على (OI). التناظر المحوري يحافظ على الاستقامة ⇒ O، D، B على استقامة واحدة. C∈[OA] ⇒ D∈[OB] (التناظر يحفظ الترتيب).

3ب) △OAB متقايس الضلعين (OA=OB=3cm). OC=OD=1cm (التناظر يحفظ المسافة) ⇒ △OCD متقايس الضلعين قمته O. ∠AOB=∠COD (زاوية مشتركة). زوايا القاعدة: ∠OAB=(180°-∠AOB)/2 و ∠OCD=(180°-∠COD)/2 ⇒ ∠OAB=∠OCD. هاتان زاويتان متماثلتان (على نفس الجانب من القاطع (OA)) ومتساويتان ⇒ (CD)//(AB). الرباعي ABDC شبه منحرف قاعدتاه [CD] و [AB].

3ج) O، D، B على استقامة واحدة، D∈[OB]. OB=3cm (شعاع). OD=OC=1cm. OB=OD+DB ⇒ 3=1+DB ⇒ DB=2cm.

4) مركز (C₁) هو A، مركز (C₂) هو B — متناظرتان (من 1). R₁=AC=OA-OC=3-1=2cm. R₂=BD=2cm (من 3ج). R₁=R₂=2cm. المراكز متناظرة والشعاعان متساويان ⇒ (C₁) و (C₂) متناظرتان بالنسبة إلى (OI).

التمرين 17التمرين رقم 1 (QCM) — السؤال 3 — فرض مراقبة عدد 2 — نسخة 15 — c2715.html

3) زاويتان متقابلتان بالرأس و قيس إحداهما 45° إذن هما:

متتامتان ✓

متكاملتان

متجاورتان

إظهار التصحيح

زاويتان متقابلتان بالرأس لهما نفس القيس. إذا كان قيس إحداهما 45°، فالأخرى أيضاً 45°. مجموعهما: 45°+45°=90°. الإجابة الصحيحة: أ) متتامتان

التمرين 18التمرين رقم 3 (5 نقاط) — هندسة — فرض مراقبة عدد 2 — نسخة 15 — c2715.html

نعتبر الرسم التالي: ABC مثلث قائم الزاوية في A وحيث ∠BCx = 130°

الرسم: مثلث ABC قائم في A. الشعاع [Cx يمتد من C خارج المثلث ويشكل زاوية 130° مع [BC

1) أ- بالإعتماد على الرسم أعط: ✓ مثالاً لزاويتين متتامتين. ✓ مثالاً لزاويتين متقابلتين بالرأس.

ب- احسب معللاً جوابك ∠xCy

2) أ- ابن منصف الزاوية ∠BCx وعين عليه نقطة I بحيث CI = 5cm. ب- ابن المستقيم Δ المار من I والعمودي على (Cx) والذي يقطعه في النقطة H. ماذا تمثل النقطة H بالنسبة إلى النقطة I؟ ج- ابن النقطة K المسقط العمودي للنقطة I على المستقيم (BC). د- قارن معللاً جوابك البعدين: IH و IK

3) لتكن (C) دائرة مركزها النقطة O وقطرها [AB]. الدائرة (C) تقطع المستقيم (BC) في نقطة ثانية F. أ- ماهي الوضعية النسبية للدائرة (C) والمستقيم (AC)؟ علل جوابك. ب- عين النقطة M المسقط العمودي لـ O على (BC). ج- قارن معللاً جوابك البعدين: OM و OF. هـ- استنتج أن النقطة O لا تنتمي إلى منصف الزاوية ∠ACB

إظهار التصحيح

1أ) زاويتان متتامتان: في المثلث ABC القائم في A، مجموع الزاويتين الحادتين يساوي 90° ⇒ ∠ABC و ∠ACB متتامتان.

زاويتان متقابلتان بالرأس: x معرّف بحيث A، C، x على استقامة واحدة (C بين A وx، امتداد [CA) بعد C). نمدد أيضا [CB) إلى ما بعد C لنحصل على نقطة z (B، C، z على استقامة واحدة). عند النقطة C يتقاطع المستقيمان (Ax) و(Bz)، فتتكون زاويتان متقابلتان بالرأس: ∠BCx و∠ACz (كل منهما محصورة بين شعاع وشعاعه المقابل للآخر: [Cx) مقابل [CA)، و[Cz) مقابل [CB)).

1ب) بما أن A، C، x على استقامة واحدة: ∠ACB و ∠BCx متجاورتان ومتكاملتان (مجموعهما 180°) ⇒ ∠ACB = 180° - 130° = 50°. (ملاحظة: صياغة "احسب ∠xCy" في النص المنقول تحتوي على خطأ طباعي على الأرجح؛ المقصود هو ∠ACB كما تستعمله بقية التمرين.)

2ب) H هي نقطة تقاطع Δ (المار من I) مع (Cx)، Δ عمودي على (Cx) في H ⇒ H هي المسقط العمودي للنقطة I على (Cx).

2د) I على منصف ∠BCx. IH: البعد من I إلى (Cx). IK: البعد من I إلى (BC). خاصية: كل نقطة على منصف زاوية تكون متساوية البعد عن ضلعي الزاوية ⇒ IH = IK.

3أ) (C) قطرها [AB] ⇒ في مثلث قائم، مركز الدائرة المحيطة هو منتصف الوتر ⇒ O منتصف [AB]. (AC)⊥(AB) في A، [OA] شعاع ⇒ (AC) مماس للدائرة (C) في A (عمودي على شعاع [OA] في نقطة نهايته A).

3ج) في المثلث OMF: الزاوية في M قائمة (OM⊥BC). OF هو الوتر (أطول ضلع في المثلث القائم) ⇒ OF > OM.

3هـ) برهان بالخلف: لنفترض أن O تنتمي إلى منصف ∠ACB. خاصية منصف الزاوية: البعد من O إلى (AC) = البعد من O إلى (BC). البعد من O إلى (AC) = OA (لأن (AC) مماس و A نقطة التماس) = R. البعد من O إلى (BC) = OM. من السؤال ج: OF > OM، لكن OF=R ⇒ R > OM أي OA > OM ⇒ البعد من O إلى (AC) ≠ البعد من O إلى (BC). بما أن الأبعاد غير متساوية، فإن O لا تنتمي إلى منصف ∠ACB.

التمرين 19التمرين رقم 1 (2) — إنشاء أنصاف مستقيمات — فرض مراقبة عدد 2 — نسخة 16 — c2716.html

(2) نعتبر الرسم التالي:

رسم يحتوي على نصف مستقيم Ox ونصف مستقيم Oy والدائرة C

أ- أرسم نصف المستقيم [Ot) إذا علمت أن ∠xOy و ∠xOt زاويتان متجاورتان و متكاملتان

ب - أرسم نصف المستقيم [Ou) إذا علمت أن ∠xOy و ∠yOu زاويتان متجاورتان و متتامتان

ج- في الرسم المرافق ينقص النقطة I مركز الدائرة المماسة لـ (Oy) في C والتي تقطع (Ox) في A و B. عيّن النقطة I مع ترك أثار البركار

إظهار التصحيح

أ) إنشاء [Ot): ∠xOy و∠xOt متجاورتان (الضلع المشترك [Ox)) ومتكاملتان (مجموعهما 180°). إذن ضلعاهما الآخران [Oy) و[Ot) يشكلان معا زاوية مستقيمة (180°)، أي هما نصفا مستقيم متقابلان: O بين y وt على استقامة واحدة. الإنشاء: [Ot) هو الشعاع المقابل لـ[Oy).

ب) إنشاء [Ou): ∠xOy و∠yOu متجاورتان (الضلع المشترك [Oy)) ومتتامتان (مجموعهما 90°). بما أنهما متجاورتان، فإن الزاوية الكلية ∠xOu = ∠xOy + ∠yOu = 90°. الإنشاء: [Ou) بحيث تكون ∠xOu قائمة (أي (Ou) ⊥ (Ox))، مع وقوع [Oy) بين [Ox) و[Ou).

ج) تعيين مركز الدائرة I: بما أن الدائرة مماسّة لـ(Oy) في C، فإن [IC] ⊥ (Oy)، أي I تنتمي إلى العمودي على (Oy) في C. وبما أن الدائرة تقطع (Ox) في A وB، فإن I تنتمي إلى الموسط العمودي لـ[AB]. النقطة I هي تقاطع هذين المستقيمين (مع ترك أثر البركار في الإنشاء).

التمرين 20التمرين رقم 1 (QCM) — السؤال 3 — فرض مراقبة عدد 2 — نسخة 17 — c2717.html

ج	ب	أ	المعطيات
متجاورتان	متكاملتان	متتامتان (surligné dans le fichier source)	مهما تكن الزاويتان xoy و yoz حيث xoy+yoz=xoz فإن xoy و yoz:

إظهار التصحيح

المعادلة ∠xoy+∠yoz=∠xoz تعني أن الزاويتين متجاورتان. الإجابة الصحيحة: متجاورتان (الخيار ج). ملاحظة: "متتامتان" تعني مجموعهما 90° وهذا معطى إضافي غير موجود.

(Note : la case "متتامتان" est mise en évidence comme réponse dans le tableau de l'énoncé source, mais la correction elle-même l'identifie comme fausse et explique pourquoi "متجاورتان" est la bonne réponse — auto-correction cohérente et vérifiée juste : l'addition d'angles xoy+yoz=xoz caractérise l'adjacence, pas une somme fixe de 90°.)

التمرين 21التمرين رقم 3 (هندسة) — سؤال 4 (إكمال) — فرض مراقبة عدد 2 — نسخة 17 — c2717.html

في الرسم المرافق (BE) يوازي (AC) و ∠DAC=55° و EB=2 و AB=3 و ∠BAF=35°. (النقط F و A و D على استقامة واحدة)

(4) أكمل بما يناسب:

أ- الزاويتان ∠DAC و ∠BAF .....................................................

ب - الزاويتان ∠DAC و .................. متجاورتان و متكاملتان.

إظهار التصحيح

1أ) (partie géométrique préalable, cf. supra) : D,A,F على استقامة واحدة (∠DAF=180°). ∠DAF=∠DAC+∠CAB+∠BAF ⇒ 180°=55°+∠CAB+35° ⇒ ∠CAB=90°. إذن (AB)⊥(AC).

4أ) الزاويتان ∠DAC و ∠BAF لهما نفس الرأس A، لكن ليس لهما ضلع مشترك. الإجابة: غير متجاورتين أو منفصلتان.

4ب) نبحث عن زاوية لها ضلع مشترك مع ∠DAC ومجموعهما 180°. ∠CAF = ∠CAB + ∠BAF = 90° + 35° = 125°. التحقق: 55°+125°=180° ✓. الإجابة: ∠CAF.

أسئلة الزوايا فقط، مستخرجة من فروض حقيقية متعددة الفصول.

التمرين 01التمرين 4 (Q1, Q2, Q3) — توليفة عدد 1 — نموذج 1 — s1701.html

تأمل الرسم (المعطيات): ABC مثلث قائم الزاوية في B، و BĈx = 120° (زاوية خارجية). 1. احسب AĈB ثم BÂC. الدائرة (C) التي مركزها C وشعاعها CB تقطع [Cx) في نقطة E. المستقيم Δ المماس لـ (C) في E يقطع (AB) في F. 2. أ- بين أن [FC) هو منصف الزاوية BF̂E. ب- احسب BF̂C. 3. أ) احسب BĈF. ب) بين أن (CF) هو منصف الزاوية BĈE. ج) استنتج أن (CF) هو الموسط العمودي لـ [BE].

إظهار التصحيح

1. الشرح: - الزاويتان AĈB و BĈx متجاورتان ومتكاملتان (تشكلان زاوية مستقيمة). إذن: AĈB = 180° - 120° = 60° - في المثلث ABC القائم في B، مجموع الزوايا 180°. BÂC = 180° - (AB̂C + AĈB) = 180° - (90° + 60°) = 30° 2. أ- (AB) عمودي على (CB) في B (لأن المثلث ABC قائم في B). الدائرة (C) مركزها C ونصف قطرها CB، وB تنتمي إليها؛ بما أن (AB) عمودي على نصف القطر [CB] في نقطة B التي تنتمي إلى الدائرة، فإن (AB) مماس للدائرة (C) في B. وبالمثل (Δ) مماس للدائرة (C) في E (معطى). النقطة F هي نقطة تقاطع المماسين (AB) و(Δ). خاصية: القطعتان المماسيتان الصادرتان من نقطة خارجية (هنا F) متساويتان (FB=FE)، والمستقيم الواصل بين هذه النقطة الخارجية ومركز الدائرة (هنا [FC)) ينصف الزاوية المحصورة بين المماسين. إذن [FC) هو منصف الزاوية BF̂E. ب- المثلث CBE متقايس الضلعين في C (CB=CE نصفا قطر)، وزاويته الرئيسية BĈE=120° (معطى)، فزاويتا قاعدته: CB̂E=CÊB=(180°-120°)/2=30°. ولدينا CÊF=90° (لأن (Δ) مماس، عمودي على [CE] في E). إذن BÊF=CÊF-CÊB=90°-30°=60°. وبما أن FB=FE (خاصية المماسين من F)، فالمثلث FBE متقايس الضلعين في F، وزاويتا قاعدته متساويتان: FB̂E=FÊB=60°؛ ومجموع زوايا المثلث=180° يعطي الزاوية الثالثة BF̂E=60° أيضاً (مثلث متقايس الأضلاع). بما أن [FC) منصف BF̂E (من 2أ): BF̂C=BF̂E/2=60°/2=30°. 3. أ) في المثلث FBC القائم في B: BĈF=90°-BF̂C=90°-30°=60°. ب) لدينا BĈE=120° (معطى) وBĈF=60° (من 3أ). FĈE=BĈE-BĈF=120°-60°=60°=BĈF. إذن (CF) منصف BĈE. ج) المثلث CBE متقايس الضلعين في C. في المثلث المتقايس الضلعين، منصف زاوية الرأس هو أيضاً الارتفاع والموسط العمودي للقاعدة المقابلة. بما أن (CF) منصف BĈE، فهو الموسط العمودي لـ[BE].

التمرين 02التمرين 4 (Q1, Q2, Q3) — توليفة عدد 1 — نموذج 2 — s1702.html

إظهار التصحيح

1. الزاويتان AĈB و BĈx متجاورتان ومتكاملتان (تشكلان زاوية مستقيمة قياسها 180°). إذن: AĈB = 180° - BĈx = 180° - 120° = 60°. في المثلث ABC القائم في B، مجموع الزوايا الداخلية للمثلث هو 180°. بما أن AB̂C = 90°: BÂC = 180° - (AB̂C + AĈB) = 180° - (90° + 60°) = 30° 2. أ- نعلم أن (AB) عمودي على (CB) في B (لأن المثلث ABC قائم في B). الدائرة (C) مركزها C وتمر من B (نصف قطرها CB). بما أن (AB) عمودي على نصف القطر [CB] في النقطة B التي تنتمي للدائرة، فإن (AB) هو مماس للدائرة (C) في B. وبالمثل، المستقيم (Δ) مماس للدائرة (C) في E، لذا (Δ) عمودي على نصف القطر [CE] في E. النقطة F هي نقطة تقاطع المماسين (AB) و (Δ). خاصية: في الدائرة، القطعتان المماسيتان المرسومتان من نقطة خارجية (هنا F) إلى الدائرة متساويتان في الطول (FB = FE)، والمستقيم الواصل بين هذه النقطة الخارجية ومركز الدائرة (هنا [FC)) ينصف الزاوية المحصورة بين المماسين (BF̂E) وينصف أيضاً الزاوية المركزية (BĈE). إذن [FC) هو منصف الزاوية BF̂E. ب- من السؤال السابق، المثلث CBE متقايس الضلعين في C (CB = CE أنصاف أقطار). الزاوية BĈE = 120°. زاويتا القاعدة متساويتان: CB̂E = CÊB = (180° - 120°) / 2 = 30°. لدينا CÊF = 90° (المماس Δ عمودي على نصف القطر CE). إذن BÊF = CÊF - CÊB = 90° - 30° = 60°. في المثلث FBE، نعلم أن FB = FE (خاصية المماسين من نقطة خارجية F). إذن المثلث FBE متقايس الضلعين في F. زاويتا القاعدة متساويتان: FB̂E = FÊB = 60°. بما أن زاويتي القاعدة 60°، فإن مجموع زواياه 60+60+60=180، إذن المثلث FBE متقايس الأضلاع، والزاوية الثالثة BF̂E = 60°. بما أن [FC) منصف الزاوية BF̂E (من السؤال السابق)، فإن: BF̂C = BF̂E / 2 = 60° / 2 = 30° 3. أ) في المثلث FBC القائم الزاوية في B (لأن FB ⊥ BC). مجموع الزاويتين الحادتين 90°. BĈF = 90° - BF̂C. بما أن BF̂C = 30° (من السؤال السابق)، فإن: BĈF = 90° - 30° = 60° ب) لدينا الزاوية BĈE = 120° (هي الزاوية الخارجية المعطاة BĈx). وقد حسبنا في السؤال السابق أن BĈF = 60°. FĈE = BĈE - BĈF = 120° - 60° = 60° (من الرسم، [CF) يقع بين [CB) و [CE)). إذن BĈF = FĈE = 60°. هذا يثبت أن (CF) هو منصف الزاوية BĈE. ج) في المثلث CBE: هو مثلث متقايس الضلعين في C (لأن CB = CE أنصاف أقطار للدائرة (C)). و (CF) هو منصف الزاوية الرئيسية BĈE (من السؤال السابق). خاصية: في المثلث المتقايس الضلعين، منصف الزاوية الرئيسية هو أيضاً المتوسط والارتفاع والموسط العمودي للضلع المقابل. إذن (CF) هو الموسط العمودي للضلع [BE].

التمرين 03التمرين 1 (Q3 — QCM) — توليفة عدد 1 — نموذج 3 — s1703.html

3. تأمل الرسم التالي حيث: [BD) منصف الزاوية \(\widehat{CBA}\) إذن \(\widehat{CDA}\) تساوي: (أ) 30° / ب) 110° / ج) 100°)

إظهار التصحيح

لا يمكن حساب قيس الزاوية CD̂A بدقة من المعطيات المنقولة وحدها: النص المتوفر يذكر فقط أن [BD) منصف الزاوية CB̂A، دون إعطاء أي قيمة عددية لأي زاوية في الشكل (لا BĈA ولا زوايا أخرى)، ودون توفر الرسم الأصلي. أي حساب يعتمد على قيم إضافية غير مذكورة في النص يبقى غير مبرر رياضياً. الخيار المشار إليه في مفتاح الإجابة هو (ب) 110°، لكن هذه القيمة لا يمكن التحقق منها أو اشتقاقها من المعطيات المنقولة وحدها.

⚠️ Donnée manquante : aucune mesure d'angle numérique n'est fournie dans le texte transcrit (seule l'info que [BD) est bissectrice de CBA), ni la figure — impossible de dériver 110° sans inventer des valeurs.

التمرين 04التمرين 1 (Q4 — QCM) — توليفة عدد 1 — نموذج 3 — s1703.html

4. في الرسم التالي: (AB) و (AC) مماسان للدائرة. إذن \(\widehat{xoy}\) تساوي: (أ) 50° / ب) 130° / ج) 110°)

إظهار التصحيح

لا يمكن حساب قيس الزاوية \(\widehat{xoy}\) بدقة من المعطيات المنقولة وحدها: النص المتوفر يذكر فقط أن (AB) و(AC) مماسان للدائرة، دون إعطاء قيس زاوية المماسين BÂC ولا الرسم الأصلي. القاعدة المستعملة (مجموع الزاوية بين المماسين والزاوية المركزية المقابلة لها في الرباعي المكون من المركز ونقطتي التماس ورأس المماسين = 180°) صحيحة رياضياً، لكن تطبيقها هنا يتطلب قيمة BÂC غير متوفرة في النص. الخيار المشار إليه في مفتاح الإجابة هو (ب) 130°، لكن هذه القيمة لا يمكن التحقق منها من المعطيات المنقولة وحدها.

⚠️ Donnée manquante : aucune mesure d'angle n'est fournie dans le texte transcrit (ni BÂC, ni la figure) — le théorème invoqué (angles opposés du quadrilatère = 180°) est correct mais son application ici repose sur une valeur inventée pour retomber sur 130°.

التمرين 05التمرين 3 (Q1.a, Q1.b) — توليفة عدد 1 — نموذج 4 — s1704.html

ABCD شبه منحرف قائم في A و D. AD = 3cm، \(\widehat{ABC}=130°\) و \(\widehat{ACD}=25°\). 1. أ) أحسب قيس الزاوية \(\widehat{BCD}\). ب) استنتج أن نصف المستقيم [CA) منصف للزاوية \(\widehat{BCD}\).

إظهار التصحيح

أ) بما أن ABCD شبه منحرف قائم في A و D، فإنّ (AB) // (CD). الزاويتان \(\widehat{ABC}\) و \(\widehat{BCD}\) متتاليتان وداخليتان بين متوازيين، فهما متكاملتان (180°). \(\widehat{BCD}\) = 180° - \(\widehat{ABC}\) = 180° - 130° = 50° ب) لدينا \(\widehat{BCD}\) = 50° و \(\widehat{ACD}\) = 25° (معطى). نحسب قيس \(\widehat{ACB}\): \(\widehat{ACB}\) = \(\widehat{BCD}\) - \(\widehat{ACD}\) = 50° - 25° = 25° بما أن \(\widehat{ACB}\) = \(\widehat{ACD}\) = 25°، فإن نصف المستقيم [CA) منصف للزاوية \(\widehat{BCD}\).

التمرين 06التمرين 4 (Q1–Q4) — توليفة عدد 1 — نموذج 4 — s1704.html

تأمل الرسم التالي: ABC مثلث حيث \(\widehat{BAC}=40°\). [Cx) منصف الزاوية \(\widehat{ACB}\) و \(\widehat{xCB}=30°\). 1. أحسب قيس الزاوية \(\widehat{ABC}\). 2. ابن [Cy) منصف الزاوية \(\widehat{ACt}\). (حيث t نقطة من امتداد [BC)). 3. أحسب قيس الزاوية \(\widehat{ACy}\). 4. استنتج أن (Cx) ⊥ (Cy).

إظهار التصحيح

1. نحسب \(\widehat{ACB}\): بما أن [Cx) منصف لـ \(\widehat{ACB}\): \(\widehat{ACB}\) = 2 × \(\widehat{xCB}\) = 2 × 30° = 60° نحسب \(\widehat{ABC}\): مجموع زوايا المثلث يساوي 180°. \(\widehat{ABC}\) = 180° - (\(\widehat{BAC}\) + \(\widehat{ACB}\)) = 180° - (40° + 60°) = 80° 2. الإنشاء: يتم إنشاء [Cy) بحيث يقسم الزاوية الخارجية \(\widehat{ACt}\) إلى زاويتين متقايستين. 3. الزاويتان \(\widehat{ACB}\) و \(\widehat{ACt}\) متكاملتان (180°). \(\widehat{ACt}\) = 180° - \(\widehat{ACB}\) = 180° - 60° = 120° بما أن [Cy) منصف لـ \(\widehat{ACt}\). \(\widehat{ACy}\) = 120° / 2 = 60° 4. الاستنتاج: نحسب الزاوية \(\widehat{xCy}\). \(\widehat{xCA}=30°\) و \(\widehat{ACy}=60°\). \(\widehat{xCy}\) = \(\widehat{xCA}\) + \(\widehat{ACy}\) = 30° + 60° = 90° بما أن \(\widehat{xCy}\) = 90°، فإن المستقيمين (Cx) و (Cy) متعامدان.

التمرين 07التمرين 1 (Q2) — توليفة عدد 1 — نموذج 5 — s1705.html

(2) في الرسم المقابل: المسقط العمودي لـ M على (Oy) هو K و MK=2,5 cm و OB = 6 cm. مساحة المثلث OMB تساوي 9 cm². إذن: [OM) منصف الزاوية \(\widehat{xOy}\). علل جوابك.

إظهار التصحيح

نحسب أولاً d(M,(Oy)) انطلاقاً من المساحة المعطاة: مساحة المثلث OMB = 1/2 × OB × d(M,(Oy)) = 1/2 × OB × MK. بالتعويض: 9 = 1/2 × 6 × MK ⟹ MK = 9×2/6 = 3 cm. لكن المعطى المباشر في النص هو MK=2.5cm. هاتان القيمتان (3cm المحسوبة من المساحة، و2.5cm المعطاة مباشرة) متناقضتان، ما يعني أن معطيات هذا السؤال غير متسقة في النص المصدر. لا يمكن بالتالي حساب d(M,(Ox)) (البعد الضروري الثاني لإثبات أو نفي أن [OM) منصف xOy، حسب خاصية تساوي بعدي نقطة المنصف عن ضلعي الزاوية) لغياب معطى سليم عنه، ولا الحسم في السؤال المطروح.

⚠️ Contradiction numérique : l'aire (9cm²) et OB=6cm imposent MK=3cm par la formule de l'aire, incompatible avec MK=2,5cm donné directement — rendant la question indémontrable telle quelle.

التمرين 08التمرين 4 (Q1) — توليفة عدد 1 — نموذج 5 — s1705.html

تأمل الشكل التالي حيث ABCD شبه منحرف قائم الزاوية في A، حيث AB=AD=4 cm و \(\widehat{BCD}=70°\) و O منتصف [BD]. (1) بيّن أن \(\widehat{ABC}=110°\).

إظهار التصحيح

ABCD شبه منحرف قائم الزاوية في A. في هذه الحالة، الزاوية في D تكون قائمة أيضاً (مفروضة في شبه المنحرف القائم). مجموع زوايا الرباعي يساوي 360°. \(\widehat{DAB}\) + \(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{BCD}\) + \(\widehat{CDA}\) = 360°. 90° + \(\widehat{ABC}\) + 70° + 90° = 360°. \(\widehat{ABC}\) + 250° = 360°. \(\widehat{ABC}\) = 360° - 250° = 110°. النتيجة: \(\widehat{ABC}\)=110°.

التمرين 09التمرين 1 (Q4, Q5) — توليفة عدد 1 — نموذج 6 — s1706.html

4. زاويتان لهما نفس الرأس هما متجاورتان. (أ) صواب / ب) خطأ) 5. زاويتان لهما نفس الرأس و متقايستان هما زاويتان متقابلتان بالرأس. (أ) خطأ / ب) متقابلتان بالرأس. ج) صواب)

إظهار التصحيح

4. خطأ. لكي تكون الزاويتان متجاورتان يجب أن يكون لهما نفس الرأس وضلع مشترك ويقعان في جهتين مختلفتين من هذا الضلع المشترك. قد يكون لهما نفس الرأس دون أن تكونا متجاورتين. الإجابة الصحيحة: ب) خطأ 5. خطأ. الزاويتان المتقابلتان بالرأس دائماً متقايستان، لكن العكس ليس صحيحاً. قد تكون زاويتان متقايستان ولهما نفس الرأس دون أن تكونا متقابلتين بالرأس (مثل زاويتين متتالتين قياس كل منهما 30° على منصف زاوية قياسها 60°). الإجابة الصحيحة: أ) خطأ

التمرين 10التمرين 4 (Q1) — توليفة عدد 1 — نموذج 6 — s1706.html

تأمل الرسم التالي حيث : ABC مثلث يحقق AB=3 cm و AC=4 cm و BC=5 cm و \(\widehat{ABC}=55°\) و D نقطة حيث A منتصف [BD] و C نقطة تقاطع (BX) و (AY) و \(\widehat{XCY}=35°\) و \(\widehat{BCZ}=35°\) (1) أ) حدد قيس الزاوية \(\widehat{ACB}\) معللاً جوابك. ب) إذن أكمل: \(\widehat{ABC}\) و \(\widehat{ACB}\) زاويتان ......... لأن مجموعهما ......... ج) استنتج أن (AC) ⊥ (AB)

إظهار التصحيح

أ) تحديد قيس \(\widehat{ACB}\): في المثلث ABC: AB=3cm، AC=4cm، BC=5cm. نلاحظ أن: AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25، وBC² = 5² = 25. إذن AB² + AC² = BC². حسب عكس مبرهنة فيثاغورس، المثلث ABC قائم الزاوية في A (الزاوية المقابلة للضلع الأطول BC). إذن \(\widehat{BAC}\) = 90°. مجموع زوايا المثلث = 180°: \(\widehat{ACB}\) = 180° - (\(\widehat{BAC}\) + \(\widehat{ABC}\)) = 180° - (90° + 55°) = 35°. ب) \(\widehat{ABC}\) = 55° و\(\widehat{ACB}\) = 35°. مجموعهما: 55° + 35° = 90°. إذن الزاويتان \(\widehat{ABC}\) و\(\widehat{ACB}\) متتامتان لأن مجموعهما 90° (وهذا متوافق مع كون المثلث قائم الزاوية في A: في أي مثلث قائم الزاوية، الزاويتان الحادتان الأخريان متتامتان). ج) استنتجنا في (أ) أن \(\widehat{BAC}\) = 90°. زاوية قيسها 90° بين مستقيمين تعني أنهما متعامدان. إذن (AC) ⊥ (AB).

التمرين 11الفرض (مثال 6) — التمرين 1 (Q4, Q5) — توليفة عدد 1 — نموذج 7 — s1707.html

4. زاويتان لهما نفس الرأس هما متجاورتان. (صواب / خطأ) 5. زاويتان لهما نفس الرأس ومتقايستان هما زاويتان متقابلتان بالرأس. (صواب / خطأ)

إظهار التصحيح

4. خطأ. (يجب أن يكونا أيضاً متجاورتين بالضلع، أي لهما ضلع مشترك ويفصلان بينهما). الإجابة: خطأ. 5. خطأ. (مثال: إذا كان لدينا منصف زاوية، الزاويتان المكونتان متساويتان في الرأس، ولكنهما متجاورتان وليستا متقابلتين بالرأس). الإجابة: خطأ.

التمرين 12الفرض (مثال 5) — التمرين 1 (Q2) — توليفة عدد 1 — نموذج 8 — s1708.html

(2) في الرسم المقابل: المسقط العمودي لـ M على (Ox) هو K. إذا كان MK=2.5 cm و OB = 6 cm ومساحة المثلث OMB تساوي 9 cm². إذن: (OM] منصف الزاوية \(\widehat{xOy}\). علل جوابك. (ملاحظة: يوجد تناقض في المعطيات)

إظهار التصحيح

من صيغة مساحة المثلث: 9 = 1/2 × 6 × MK ⟹ MK = 3cm. لكن المعطى المباشر في النص هو MK=2.5cm. القيمتان متناقضتان (تناقض في معطيات النص المصدر، كما يشير التمرين نفسه). لا يمكن بالتالي إثبات أو نفي أن [OM) منصف xOy بمعطيات سليمة.

⚠️ Contradiction numérique confirmée : l'aire (9cm²) et OB=6cm imposent MK=3cm, incompatible avec MK=2,5cm donné directement dans l'énoncé (voir aussi le même défaut dans s1705.html).

التمرين 13الفرض (مثال 8) — التمرين 1 (د) — توليفة عدد 1 — نموذج 8 — s1708.html

د) تأمل الرسم: إذا كان (Bx] منصف الزاوية \(\widehat{ABC}\) (\(\widehat{ABC}=50°\)) فإن الزاوية \(\widehat{BAD}\) تساوي: (60° / 50° / 80°)

إظهار التصحيح

لا يمكن تحديد قيس الزاوية \(\widehat{BAD}\) من المعطيات المنقولة: النص يذكر فقط أن [Bx] منصف \(\widehat{ABC}\) (=50°) دون تحديد أي علاقة بين النقطة D والزاوية ABC أو موقعها في الشكل. يلزم معرفة العلاقة الهندسية بين D والزاوية (مثلاً: هل BD جزء من مثلث معين، أم D على منصف آخر) لحساب \(\widehat{BAD}\)، وهذه المعلومة غائبة عن النص وعن الرسم الأصلي.

⚠️ Donnée manquante : la relation entre le point D et l'angle ABC n'est jamais précisée dans l'énoncé transcrit — aucune des trois options du QCM n'est démontrable sans elle.

التمرين 14الفرض (مثال 8) — التمرين 1 (و) — توليفة عدد 1 — نموذج 8 — s1708.html

و) تأمل الرسم: إذا كانت (C) دائرة مركزها O والمستقيمان (AC) و (CD) مماسان لها على التوالي في A و D. إذن الزاويتان \(\widehat{AOB}\) و \(\widehat{DCA}\) هما: (متقايستان / متتامتان / متكاملتان)

إظهار التصحيح

الزاويتان متكاملتان (مجموع قيسهما 180°).

التمرين 15التمرين 1 (Q2) — توليفة عدد 1 — نموذج 9 — s1709.html

2. زاويتان قائمتان و لهما نفس الرأس هما : (متجاورتان ومتتامتان / متجاورتان ومتكاملتان / متكاملتان)

إظهار التصحيح

قيس كل زاوية هو 90°. مجموع قيسيهما هو 90° + 90° = 180°. كل زاويتين مجموع قيسيهما 180° هما زاويتان متكاملتان.

التمرين 16التمرين 4 — توليفة عدد 1 — نموذج 9 — s1709.html

⚠️ ملاحظة (dans le fichier source): يتضمن هذا التمرين تناقضات في المعطيات الهندسية المعتادة للصف السابع أساسي. (1) احسب \(\widehat{yOt}\). (2) بين أن... (تم افتراض أن المطلوب هو حساب \(\widehat{zOt}\)) (3) ارسم دائرة مركزها A وتمر من B. أ- بين أن النقطة O تنتمي إلى الدائرة (C). ب- استنتج أن (xy) مماس للدائرة (C).

إظهار التصحيح

(1) بما أن O ∈ (xy)، فإن الزاوية \(\widehat{xOy}\) هي زاوية مستقيمة قيسها 180°. \(\widehat{yOt}\) = \(\widehat{xOy}\) - \(\widehat{xOt}\) = 180° - 130° = 50° (2) بترتيب الأشعة حول O بين [Ox) و[Oy) (0°، 40°، 130°، 180°)، الزاوية \(\widehat{zOt}\) داخل الزاوية \(\widehat{xOt}\). \(\widehat{zOt}\) = \(\widehat{xOt}\) - \(\widehat{xOz}\) = 130° - 40° = 90° (3) يستعمل هذا السؤال معطيات (مثل AB=AO و\(\widehat{BAO}\)=80°، وتعريف دقيق للنقطتين A وB) غير واردة في النص المنقول إلينا لهذا التمرين (النص المتوفر يذكر فقط O∈(xy) و\(\widehat{xOz}\)=40° و\(\widehat{xOt}\)=130°). لا يمكن بالتالي إثبات انتماء O للدائرة (C) ولا البت في وضعية (xy) بالنسبة إليها دون هذه المعطيات الناقصة، ودون اختراعها.

⚠️ Données manquantes pour la question (3) : AB=AO et \(\widehat{BAO}\)=80° (utilisées par la correction d'origine) n'apparaissent nulle part dans le texte source transcrit, et les points A, B n'y sont pas définis — (1) et (2) restent en revanche solides (50° et 90°).

التمرين 17التمرين 5 — توليفة عدد 1 — نموذج 9 — s1709.html

مثلث ABC حيث \(\widehat{BAC}=48°\) و \(\widehat{ABC}=75°\). Δ هو الموسط العمودي لـ [BC]. (1) أحسب \(\widehat{ACB}\). (4) (A'C) يقطع Δ في I. بين أن النقاط B, A', I على استقامة واحدة.

إظهار التصحيح

(1) في المثلث ABC، مجموع زواياه 180°. \(\widehat{ACB}\) = 180° - (\(\widehat{BAC}\) + \(\widehat{ABC}\)) = 180° - (48° + 75°) = 57° (4) بالتحقق العددي المستقل (بوضع إحداثيات وفق زوايا المثلث المعطاة): النقاط B وA' وI (المعرّفة بتقاطع (A'C) مع Δ كما ورد حرفياً في نص السؤال) ليست على استقامة واحدة فعلياً؛ الادعاء المطلوب إثباته في السؤال خاطئ بالمعطيات كما هي واردة. من المرجح أن يكون هناك خطأ طباعي في نص المصدر (مثلاً ينبغي أن يكون التقاطع مع (A'B) لا (A'C)، وهي الحالة الكلاسيكية التي تجعل الاستقامة بديهية من تعريف I نفسه)، لكن لا يمكن الجزم بذلك دون الرسم الأصلي.

⚠️ Question (4) mathématiquement fausse telle que formulée : calcul indépendant (coordonnées) confirme que B, A', I (I défini via (A'C)∩Δ) ne sont pas alignés. Probable erreur de transcription ((A'B) au lieu de (A'C)?), non vérifiable sans la figure source.

التمرين 18التمرين 4 — توليفة عدد 1 — نموذج 10 — s1710.html

تأمل الشكل المرفق حيث O ∈ (xy)، \(\widehat{xOt}=130°\)، \(\widehat{xOz}=40°\)، B ∈ [Oy)، A ∈ [Ot)، AB=AO، و \(\widehat{BAO}=80°\). (1) أ- احسب \(\widehat{yOt}\). (3) ابن المستقيم Δ المماس للدائرة (C) في B. يقطع [Oz) في نقطة I. أ- أحسب \(\widehat{IOB}\). ب- أحسب \(\widehat{IBO}\). ج- أحسب \(\widehat{OIB}\).

إظهار التصحيح

(1) أ- بما أن O ∈ (xy)، فإن \(\widehat{xOy}\) = 180° (زاوية مستقيمة). \(\widehat{yOt}\) = \(\widehat{xOy}\) - \(\widehat{xOt}\) = 180° - 130° = 50° (3) أ- بترتيب الأشعة انطلاقاً من [Ox): [Ox)(0°)، [Oz)(40°)، [Ot)(130°)، [Oy)(180°). بما أن I∈[Oz) وB∈[Oy): \(\widehat{IOB}\) = \(\widehat{zOy}\) = \(\widehat{xOy}\) - \(\widehat{xOz}\) = 180° - 40° = 140° ب- الدائرة (C) مركزها A ونصف قطرها AB (=AO). Δ مماس لها في B ⇒ Δ ⊥ [AB] في B، أي \(\widehat{ABI}\) = 90° (I على Δ). في المثلث متقايس الضلعين AOB (AO=AB معطى): \(\widehat{AOB}\) = \(\widehat{ABO}\) = (180°-80°)/2 = 50°. بما أن O وI من جهتي BA (بحسب الشكل)، فإن: \(\widehat{IBO}\) = \(\widehat{ABI}\) - \(\widehat{ABO}\) = 90° - 50° = 40° ج- ملاحظة هامة: \(\widehat{IOB}\) + \(\widehat{IBO}\) = 140° + 40° = 180°. حسب عكس خاصية الزوايا الداخلية المتحالفة (زاويتان داخليتان من نفس جهة قاطع مشترك يساوي مجموعهما 180° ⟺ المستقيمان متوازيان): إذا كان مجموع زاويتين داخليتين من نفس الجهة بالنسبة لقاطع مشترك (هنا (OB)) يساوي 180°، فإن المستقيمين المعنيين متوازيان. إذن المستقيم (Oz) (الحامل لـ[Oz)) والمستقيم Δ متوازيان، ولا يتقاطعان أبداً. بمعطيات هذا التمرين كما وردت، النقطة I (المفترض أنها تقاطع Δ و[Oz)) غير موجودة هندسياً؛ وهذا ما يفسر القيمة 0° التي كانت تظهر عند محاولة حساب \(\widehat{OIB}\) بافتراض وجود مثلث OIB (مثلث غير موجود فعلياً هنا).

التمرين 19التمرين 1 (Q4) — توليفة عدد 1 — نموذج 11 — s1711.html

4. في الشكل المرافق، الزاوية المجاورة لـ \(\widehat{xOy}\) هي: (\(\widehat{xOt}\) / \(\widehat{yOt}\) / \(\widehat{xAz}\))

إظهار التصحيح

لا يمكن تحديد الزاوية المجاورة لـ \(\widehat{xOy}\) بيقين من النص المنقول: لا يوجد وصف للرسم (مواقع النقاط x وy وt وz وA) يسمح بمعرفة أي الزوايا تشترك فعلاً في ضلع مع \(\widehat{xOy}\). الشرط الوحيد المتاح هو التعريف العام لزاويتين متجاورتين (نفس الرأس، ضلع مشترك، جهتان مختلفتان)، وهذا لا يكفي لاختيار إجابة محددة من بين \(\widehat{xOt}\) و\(\widehat{yOt}\) و\(\widehat{xAz}\) دون رؤية الرسم.

⚠️ Figure absente : impossible de déterminer avec certitude laquelle de xOt, yOt, xAz est adjacente à xOy sans voir le dessin — toute réponse serait une supposition.

التمرين 20التمرين 4 — توليفة عدد 1 — نموذج 11 — s1711.html

تأمل الرسم حيث ABCD متوازي الأضلاع، \(\widehat{BAD}=110°\) و \(\widehat{ADC}=70°\). أ- ابن منصف الزاوية \(\widehat{ADC}\) الذي يقطع (AB) في النقطة E. ب- احسب \(\widehat{AED}\). ج- ابن النقطة H المسقط العمودي لـ E على (DC). د- احسب \(\widehat{DEH}\). هـ- استنتج أن (AB) ⊥ (EH). و- ابن المستقيم Δ المار من E والعمودي على (AD). يقطع (AD) في النقطة F. ز- بين أن الموسط العمودي للقطعة [FH] يمر من E.

إظهار التصحيح

ب- بما أن DE منصف الزاوية \(\widehat{ADC}\)، فإن: \(\widehat{EDC}\) = \(\widehat{ADC}\) ÷ 2 = 70° ÷ 2 = 35° بما أن ABCD متوازي الأضلاع، فإن (AB) || (DC). الزاويتان \(\widehat{AED}\) و \(\widehat{EDC}\) متبادلتان داخلياً (بالنسبة للمستقيمين المتوازيين (AB) و (DC) والقاطع (DE))، فهما متقايستان. \(\widehat{AED}\) = \(\widehat{EDC}\) = 35° د- بما أن H المسقط العمودي لـ E على (DC)، فإن المثلث DEH قائم الزاوية في H. \(\widehat{DEH}\) = 90° - \(\widehat{EDC}\) = 90° - 35° = 55° هـ- لدينا (AB) || (DC). ولدينا (EH) ⊥ (DC). بما أن المستقيم (EH) عمودي على أحد المستقيمين المتوازيين (DC)، فهو عمودي على الآخر (AB) أيضاً. ز- بما أن DE هو منصف الزاوية \(\widehat{ADC}\). وبما أن F هو المسقط العمودي لـ E على الضلع (AD) (لأن Δ=(EF) ⊥ (AD)). وبما أن H هو المسقط العمودي لـ E على الضلع (DC). فإن النقطة E تبعد بنفس المسافة عن ضلعي الزاوية \(\widehat{ADC}\) (خاصية منصف الزاوية). EF = EH بما أن E تبعد بنفس المسافة عن طرفي القطعة [FH]، فإن E تنتمي إلى الموسط العمودي للقطعة [FH].

التمرين 21التمرين 5 — توليفة عدد 1 — نموذج 11 — s1711.html

تأمل الرسم المصاحب حيث [AK] قطر الدائرة (C) مركزها O. (2) أ- بين أن [OC) هو منصف الزاوية \(\widehat{AOB}\). ب- أحسب \(\widehat{ACB}\). (ملاحظة: يتطلب قيس الزاوية المركزية \(\widehat{AOB}\)).

إظهار التصحيح

أ- في المثلث AOB، لدينا OA = OB (شعاعان)، إذن المثلث متقايس الضلعين في O. بما أن B مناظرة A بالنسبة لـ (OC) (معطى)، فإن (OC) محور تناظر المثلث AOB، وبما أنه يمر من الرأس O، فهو منصف الزاوية \(\widehat{AOB}\). ب- الزاوية \(\widehat{ACB}\) زاوية محيطية تحصر القوس AB، والزاوية \(\widehat{AOB}\) هي الزاوية المركزية التي تحصر نفس القوس. حسب مبرهنة الزاوية المحيطية: \(\widehat{ACB}\) = \(\widehat{AOB}\) ÷ 2. لا توجد في النص المنقول أي قيمة عددية للزاوية \(\widehat{AOB}\) (ولا للرسم)، فلا يمكن حساب قيمة عددية لـ\(\widehat{ACB}\)؛ العلاقة أعلاه هي أقصى ما يمكن إثباته من المعطيات المتوفرة.

⚠️ Donnée manquante : aucune valeur numérique pour ∠AOB n'est fournie dans l'énoncé transcrit — seule la relation ACB=AOB/2 (angle inscrit/angle au centre) est démontrable, pas de valeur chiffrée.

التمرين 22التمرين 4 (Q1, Q5.b) — توليفة عدد 1 — نموذج 12 — s1712.html

تأمل الشكل التالي حيث ABCD شبه منحرف قائم الزاوية في D و A (نفترض (AD) ⊥ (DC) و (AB) ⊥ (AD) أي أن AB ∥ DC)، AB=AD=4cm، \(\widehat{BCD}=70°\)، و O منتصف [BD]. (1) بين أن \(\widehat{ABC}=110°\). (5) أ- ابن نصف المستقيم [Bx) منصف الزاوية \(\widehat{ABC}\) والذي يقطع (AO) في M. ب- بين أن \(\widehat{ADM}=55°\).

إظهار التصحيح

(1) بما أن ABCD شبه منحرف و (AB) ∥ (DC)، فإن مجموع الزاويتين المتتاليتين بين المستقيمين المتوازيين والقاطع (BC) يساوي 180°. \(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{BCD}\) = 180° \(\widehat{ABC}\) = 180° - 70° = 110° (5) ب- لدينا \(\widehat{ABC}\)=110° (من السؤال 1). بما أن [Bx) منصف الزاوية \(\widehat{ABC}\)، فإن: \(\widehat{ABx}\) = \(\widehat{xBC}\) = 110° ÷ 2 = 55° M ∈ [Bx)، إذن \(\widehat{ABM}\) = 55°. بما أن B و D متناظرتان بالنسبة لـ (AO)، و M ∈ (AO)، فإن M هي مناظرة نفسها. الزاوية \(\widehat{ADM}\) هي مناظرة الزاوية \(\widehat{ABM}\) بالنسبة لـ (AO). التناظر المحوري يحافظ على قيس الزوايا. \(\widehat{ADM}\) = \(\widehat{ABM}\) = 55°

التمرين 23التمرين 4 — توليفة عدد 1 — نموذج 13 — s1713.html

تأمل الرسم التالي حيث (C) الدائرة التي مركزها O وشعاعها r = 2cm. (C) مماسة لـ (Ox) و (Oy) على التوالي في A و B. (1) علما ان (C) مماسة لـ (Oy) في B، بين أن \(\widehat{OBY}=90°\). (2) إذا علمت أن \(\widehat{OCK}=30°\) وأن \(\widehat{OKC}=90°\)، أحسب \(\widehat{KOC}\). (3) إذا علمت ان (HO) هو منصف الزاوية \(\widehat{AHB}\) بين أن \(\widehat{AHM}\) و \(\widehat{KOC}\) متكاملتان.

إظهار التصحيح

(1) بما أن الدائرة (C) مماسة للمستقيم (Oy) في النقطة B، فإن شعاع الدائرة [OB] عمودي على المماس (Oy) في نقطة التماس B (خاصية المماس). إذن: (OB) ⊥ (Oy)، أي \(\widehat{OBY}=90°\). (وبالمثل: (OA) ⊥ (Ox)، أي \(\widehat{OAX}=90°\)). (2) في المثلث OKC القائم الزاوية في K (\(\widehat{OKC}=90°\) معطى): مجموع زوايا المثلث = 180°. \(\widehat{KOC}\) = 180° - (\(\widehat{OKC}\) + \(\widehat{OCK}\)) = 180° - (90° + 30°) = 60° (3) هذا السؤال يستعمل نقطتين (H، M) غير معرّفتين في النص المنقول إلينا لهذا التمرين (لا يوجد أي تعريف سابق لهما، ولا وصف لعلاقتهما بالنقاط A وB وC وK وO الأخرى). لا يمكن بالتالي إثبات أن \(\widehat{AHM}\) و\(\widehat{KOC}\) متكاملتان دون معرفة موقعي H وM، ودون اختراع هذه المعطيات الناقصة.

⚠️ Points H et M jamais définis dans l'énoncé transcrit — la question (3) est indémontrable sans cette définition manquante ; (1) et (2) sont en revanche solides (90° par tangence, 60° par somme des angles du triangle).

التمرين 24التمرين 5 (Q1.b) — توليفة عدد 1 — نموذج 14 — s1714.html

ارسم مثلثا BDC متقايس الضلعين قمته الرئيسية D حيث BC = 4cm و \(\widehat{DBC}=75°\). I منتصف [BC]. (1) أ. ابن A' مناظرة B بالنسبة إلى A. ب. أوجد \(\widehat{CDA}\). (بافتراض أن A هي النقطة الناتجة من سؤال (1)أ).

إظهار التصحيح

المثلث BDC متقايس الضلعين قمته الرئيسية D، إذن \(\widehat{DBC}\)=\(\widehat{DCB}\)=75°. مجموع زوايا المثلث=180°: \(\widehat{BDC}\) = 180° - (75°+75°) = 30°. أما قيس الزاوية CDA المطلوبة أصلاً، فلا يمكن حسابها: النص المنقول يذكر إنشاء "A' مناظرة B بالنسبة إلى A" دون أن يعرّف A نفسها ابتداء (لا يوجد أي بناء أو تعريف سابق للنقطة A في هذا التمرين كما وصل إلينا)، فلا يمكن تحديد موقعها ولا بالتالي حساب \(\widehat{CDA}\).

⚠️ Le point A utilisé dans ∠CDA n'est jamais défini dans le texte transcrit (seul « A' image de B par rapport à A » apparaît, sans construction préalable de A) — seul BDC=30° (indépendant de A) est démontrable.

التمرين 25التمرين 4 (Q1, Q2) — توليفة عدد 1 — نموذج 15 — s1715.html

تأمل الشكل المرافق، أرسم زاوية \(\widehat{xAy}=30°\) وعين على ضلعها [Ax) النقطة B بحيث AB=4cm. المستقيم المار من B والعمودي على (Ax) يقطع [Ay) في C. (1) أحسب \(\widehat{ACB}\). (2) أ. ارسم [Cz) منصف الزاوية \(\widehat{ACB}\). ب. بين أن (Cz) // (AB).

إظهار التصحيح

(1) لدينا المثلث ABC قائم الزاوية في B لأن (BC) ⊥ (Ax) في B. مجموع زوايا المثلث هو 180°. \(\widehat{ACB}\) = 180° - (\(\widehat{BAC}\) + \(\widehat{ABC}\)) = 180° - (30° + 90°) = 180° - 120° = 60° (2) أ. منصف الزاوية \(\widehat{ACB}\) يقسمها إلى زاويتين متقايستين: \(\widehat{BCz}\) = \(\widehat{zCA}\) = 60°/2 = 30° ب. نعتبر المستقيمين (Cz) و (AB) والقاطع لهما (AC). لدينا \(\widehat{zCA}\) = 30° (من (2)أ). لدينا \(\widehat{BAC}\) = 30° (معطى). الزاويتان \(\widehat{zCA}\) و \(\widehat{BAC}\) هما زاويتان متبادلتان داخلياً ومتقايستان. إذن: المستقيمان (Cz) و (AB) متوازيان.

التمرين 26التمرين 4 (Q3, Q4.b) — توليفة عدد 1 — نموذج 15 — s1715.html

(3) ابن I المسقط العمودي للنقطة C على (AB) و J المسقط العمودي للنقطة C على (Ax). بين أن CI=CJ. (تم تصحيح النقاط في السؤال الأصلي لتطبيق خاصية المنصف) (4) ب. بين أن (AB) هو المماس للدائرة Γ في النقطة I.

إظهار التصحيح

(3) ملاحظة: المستقيمان (AB) و(Ax) هما نفس المستقيم فعلياً (B نقطة من [Ax) بحسب إنشاء بداية التمرين)، لذا فإن المسقطين العموديين لنفس النقطة C على (AB) وعلى (Ax) هما بالضرورة نفس النقطة (I=J)، وبالتالي فإن CI=CJ بشكل بديهي (نفس القطعة)، وليس نتيجة لخاصية منصف الزاوية كما كان يُفترض. هذا يؤكد أن صياغة هذا السؤال في النص المصدر ناقصة أو مغلوطة (كما يشير النص نفسه إلى "أخطاء في النقاط")، ولا يمكن استرجاع السؤال الأصلي المقصود (على الأرجح كان يتعلق بخاصية منصف زاوية ACB وإسقاطات على ضلعيها (CA) و(CB) بدل (AB) و(Ax)) دون الرسم الأصلي. (4) ب. بما أن تعريف الدائرة Γ ونصف قطرها (المستعمل هنا CI) يعتمد على النقطة I التي بقي تعريفها غامضاً في السؤال (3) (كما أوضحنا أعلاه)، فلا يمكن إثبات خاصية التماس المطلوبة بثقة دون توضيح الدائرة الأصلي.

⚠️ Énoncé (3) dégénéré : (AB) et (Ax) sont la même droite ici (B∈[Ax)), donc I et J (projetés de C sur ces deux droites) sont automatiquement confondus — CI=CJ est trivial et ne prouve rien sur une bissectrice ; le texte source admet lui-même des « erreurs de points ». La question (4b), qui dépend de ce cercle, reste donc aussi non résolue.

التمرين 27التمرين 1 (د) — توليفة عدد 1 — نموذج 16 — s1716.html

د. تأمل الرسم التالي حيث [Bx) منصف الزاوية \(\widehat{ABC}\). إذا كان \(\widehat{ABC}=100°\) (افتراضاً) و D نقطة على المنصف، إذن قيس الزاوية \(\widehat{ABD}\) تساوي: (80° / 50° / 60°)

إظهار التصحيح

لا يمكن حساب قيس الزاوية \(\widehat{ABD}\) بيقين من النص المنقول: القيمة \(\widehat{ABC}=100°\) المستعملة في الحساب الأصلي مذكورة صراحة في النص كـ"افتراض" (غير معطاة فعلياً في التمرين)، ولا يوجد أي معطى بديل (رقم أو وصف للرسم) يسمح بتحديد قيس ABC الحقيقي. لا يمكن بالتالي اختيار إجابة موثوقة بين 60° و50° و80° دون هذه المعطية الناقصة.

⚠️ Donnée manquante : ∠ABC n'est pas fourni dans l'énoncé transcrit (la valeur 100° utilisée est explicitement qualifiée d'hypothèse par la source) — aucune des trois options du QCM n'est démontrable sans cette valeur.

التمرين 28التمرين 1 (ه) — توليفة عدد 1 — نموذج 16 — s1716.html

ه. تأمل الرسم التالي حيث (C) دائرة مركزها O والمستقيمان (AC) و (CD) مماسان لها على التوالي في A و D. إذن الزاويتان \(\widehat{AOD}\) و \(\widehat{ACD}\) هما: (متقايستان / متتامتان / متكاملتان)

إظهار التصحيح

في الرباعي OACD، لدينا \(\widehat{OAC}\) = 90° و \(\widehat{ODC}\) = 90°. بما أن مجموع زوايا رباعي هو 360°: \(\widehat{AOD}\) + \(\widehat{ACD}\) + 90° + 90° = 360° \(\widehat{AOD}\) + \(\widehat{ACD}\) = 360° - 180° = 180° الزاويتان \(\widehat{AOD}\) و \(\widehat{ACD}\) متكاملتان.

التمرين 29التمرين 4 — توليفة عدد 1 — نموذج 16 — s1716.html

نعتبر زاوية \(\widehat{xOz}\) قيسها بالدرجة 135° و [Oy) نصف مستقيم داخل الزاوية \(\widehat{xOz}\) بحيث \(\widehat{xOy}=45°\). (1) أحسب قيس الزاوية \(\widehat{zOy}\). (2) أرسم نصف المستقيم [Ot) حيث تكون الزاويتين \(\widehat{xOy}\) و \(\widehat{yOt}\) متجاورتان و متكاملتان. (3) أحسب قيس الزاوية \(\widehat{zOt}\). (4) استنتج أن الزاويتين \(\widehat{xOy}\) و \(\widehat{zOt}\) متتامتان.

إظهار التصحيح

(1) بما أن [Oy) داخل \(\widehat{xOz}\)، فإن: \(\widehat{zOy}\) = \(\widehat{xOz}\) - \(\widehat{xOy}\) = 135° - 45° = 90° (2) بما أن \(\widehat{xOy}\) و \(\widehat{yOt}\) متجاورتان و متكاملتان، فإن نصفا المستقيمين [Ox) و [Ot) هما نصفا مستقيمين متعاكسين ويشكلان زاوية مستقيمة \(\widehat{xOt}\). \(\widehat{yOt}\) = 180° - \(\widehat{xOy}\) = 180° - 45° = 135° (3) بما أن [Oz) يقع داخل الزاوية المستقيمة \(\widehat{xOt}\)، فإن: \(\widehat{zOt}\) = \(\widehat{xOt}\) - \(\widehat{xOz}\) = 180° - 135° = 45° (4) لدينا: \(\widehat{xOy}\) = 45° (معطى). لدينا: \(\widehat{zOt}\) = 45° (من 3). المجموع: \(\widehat{xOy}\) + \(\widehat{zOt}\) = 45° + 45° = 90°. بما أن مجموع قيسيهما يساوي 90°، فإن الزاويتين \(\widehat{xOy}\) و \(\widehat{zOt}\) متتامتان.

التمرين 30التمرين 4 — توليفة عدد 1 — نموذج 17 — s1717.html

أرسم زاوية \(\widehat{xOy}\) قيسها 60°، ثم أرسم الدائرة C التي مركزها O وشعاعها 4cm. تقطع [Ox) في A. ابن المماس Δ للدائرة C في A. ابن المنصف [Oz) للزاوية \(\widehat{xOy}\). يقطع Δ في C. (1) أ. بين أن المثلث OAC قائم الزاوية في A. ب. أحسب \(\widehat{OCA}\) مع تعليل الجواب. (2) أ. ابن النقطة B المسقط العمودي لـ C على [Oy). قارن بين CA و CB مع التعليل. ب. بين أن (CO) هو منصف الزاوية \(\widehat{ACB}\).

إظهار التصحيح

(1) أ- بما أن Δ هو مماس للدائرة C(O, r) في النقطة A، فإن Δ عمودي على الشعاع [OA] في A. أي (AC) ⊥ (OA) في A. إذن، المثلث OAC قائم الزاوية في A. ب- [Oz) هو منصف الزاوية \(\widehat{xOy}\)، إذن: \(\widehat{AOC}\) = \(\widehat{xOz}\) = 60°/2 = 30° في المثلث القائم OAC (القائم في A)، مجموع زوايا المثلث هو 180°: \(\widehat{OCA}\) = 180° - 90° - \(\widehat{AOC}\) = 90° - 30° = 60° (2) أ- بما أن النقطة C تنتمي إلى [Oz) (منصف الزاوية \(\widehat{xOy}\))، فإنها متساوية البعد عن ضلعيها [Ox) و [Oy). المسافة بين C و (Ox) هي CA (لأن (CA) ⊥ (Ox) في A). المسافة بين C و (Oy) هي CB (لأن B هو المسقط العمودي لـ C على [Oy)). إذن: CA = CB (خاصية منصف الزاوية). ب- لدينا △OAC قائم في A و △OBC قائم في B (بما أن B مسقط عمودي). لدينا OA = OB (لأن O هو مركز الدائرة C ويمر منها A و B افتراضاً، أو يجب أن يكونا متساويين ليكون △OAC ≡ △OBC). بما أن CA=CB (من 2.أ) و OC ضلع مشترك، فإن △OAC و △OBC متقايسان حسب حالة تقايس المثلثات القائمة (وتر-ضلع) (الوتر OC مشترك، الضلع القائم CA=CB). من التقايس نستنتج تقايس الزوايا: \(\widehat{ACO}\) = \(\widehat{BCO}\). إذن، (CO) هو منصف الزاوية \(\widehat{ACB}\).

التمرين 31التمرين 5 — توليفة عدد 1 — نموذج 17 — s1717.html

تأمل الشكل المرافق حيث \(\widehat{xOy}\) = 80° و [Ot) منصف الزاوية \(\widehat{xOy}\). افتراض: [OM) نصف مستقيم داخل \(\widehat{xOy}\) حيث \(\widehat{xOM}\) = 50° و H مسقط M على [Ox) و K مسقط M على [Oy). (1) أ. أحسب \(\widehat{yOM}\). ب. بين أن [MO) ليس منصف الزاوية \(\widehat{xOy}\). (2) أ. أحسب قيس الزاوية \(\widehat{MOT}\). ب. استنتج أن (Ot) و (OM) غير متعامدين. (3) المستقيم العمودي على (MK) والمار من M يقطع [Ot) في A. أ. بين أن (AM)//(Ox).

إظهار التصحيح

(1) أ. بما أن [OM) داخل \(\widehat{xOy}\)، فإن: \(\widehat{yOM}\) = \(\widehat{xOy}\) - \(\widehat{xOM}\) = 80° - 50° = 30° ب. منصف الزاوية يقسمها إلى زاويتين متقايستين. لدينا: \(\widehat{xOM}\) = 50° و \(\widehat{yOM}\) = 30°. بما أن \(\widehat{xOM}\) ≠ \(\widehat{yOM}\)، فإن [MO) ليس منصف الزاوية \(\widehat{xOy}\). (2) أ. بما أن [Ot) هو منصف \(\widehat{xOy}\)، فإن: \(\widehat{xOt}\) = 80°/2 = 40°. بما أن [Ot) داخل \(\widehat{xOM}\) (لأن 40° < 50°)، فإن: \(\widehat{MOT}\) = \(\widehat{xOM}\) - \(\widehat{xOt}\) = 50° - 40° = 10° ب. لكي يكون (Ot) ⊥ (OM)، يجب أن يكون قيس الزاوية \(\widehat{MOT}\) يساوي 90°. بما أن \(\widehat{MOT}\) = 10°، فإن (Ot) و (OM) غير متعامدين. (3) أ. لدينا M مسقط على [Oy) في K، أي (MK) ⊥ (Oy). والمستقيم المطلوب (الحامل لـ[MA)، حيث A تقاطعه مع [Ot)) عمودي على (MK) حسب الإنشاء. بما أن كلاً من (Oy) و(AM) عموديان على نفس المستقيم (MK)، فإنهما متوازيان: (AM) // (Oy). ملاحظة على صياغة السؤال: يطلب نص السؤال إثبات (AM)//(Ox)، لكن البرهان الصارم أعلاه (اعتماداً فقط على تعامد كل من (Oy) و(AM) مع (MK)) يثبت (AM)//(Oy)، وليس (AM)//(Ox) (وهما مستقيمان مختلفان بما أن \(\widehat{xOy}\)=80°≠0°). يبدو أن صياغة السؤال في النص المصدر تحتوي خطأ طباعياً (Ox بدل Oy)؛ النتيجة الرياضية الصحيحة والمثبتة فعلياً هي (AM) // (Oy).

① تمارين الفصل — الزوايا

② فرض المراقبة عدد 1

③ فرض المراقبة عدد 2

④ توليفة عدد 1