كيف أبيّن؟ — الزوايا — السنة السابعة

🎯 ما هو التعريف الدقيق للزاوية؟

التعريف:

الزاوية هي شكل هندسي يتكون من نقطة تسمى الرأس وشعاعين ينطلقان من هذا الرأس يسميان ضلعي الزاوية.

الرمز:

نرمز للزاوية بالرمز ∠ أو بثلاثة أحرف حيث الحرف الأوسط هو الرأس.

الزاوية \(\widehat{AOB}\) : الرأس \(O\)، الضلعان \([OA)\) و \([OB)\)

💡 تذكّر: الزاوية تُقاس بالدرجات من 0° إلى 360°.

سهل

📏 كيف أقيس الزاوية بدقة؟

الأداة:

نستخدم المنقلة لقياس الزوايا بالدرجات.

الخطوات:

نضع مركز المنقلة تماماً على رأس الزاوية
نجعل أحد أضلاع الزاوية يمر بخط الصفر على المنقلة
نقرأ القياس عند الضلع الآخر
نقرأ من نفس المقياس (داخلي أم خارجي)

⚠️ الخطأ الشائع: الخلط بين المقياسين الداخلي والخارجي للمنقلة — تأكد من جهة البداية.

سهل

📐 كيف أصنّف الزوايا حسب قياسها؟

التصنيف:

نوع الزاوية	القياس
زاوية حادة	\(0° < \alpha < 90°\)
زاوية قائمة	\(\alpha = 90°\)
زاوية منفرجة	\(90° < \alpha < 180°\)
زاوية مستقيمة	\(\alpha = 180°\)
زاوية كاملة	\(\alpha = 360°\)

💡 الزاوية القائمة: نرسم مربعاً صغيراً عند رأسها كرمز.

سهل

➕ كيف أجمع الزوايا؟

الشرط:

إذا كان الشعاع \([OB)\) يقع بين الشعاعين \([OA)\) و \([OC)\)، فإن:

\(\widehat{AOC} = \widehat{AOB} + \widehat{BOC}\)

مثال:

إذا كان \(\widehat{AOB} = 30°\) و \(\widehat{BOC} = 45°\)، فإن \(\widehat{AOC} = 30° + 45° = 75°\)

⚠️ شرط مهم: يجب أن يكون الشعاع \([OB)\) داخل الزاوية \(\widehat{AOC}\) — الزوايا لا تتداخل.

سهل

🤝 كيف أبيّن أن زاويتين متتامتان؟

التعريف:

زاويتان متتامتان إذا كان مجموع قياسيهما يساوي 90°.

البرهان — الخطوات:

احسب قياس الزاوية الأولى \(\alpha\)
احسب قياس الزاوية الثانية \(\beta\)
احسب المجموع \(\alpha + \beta\)
إذا كان المجموع = 90°، فالزاويتان متتامتان

\(\alpha + \beta = 90°\) \(\Leftrightarrow\) الزاويتان متتامتان

مثال:

\(\alpha = 35°\) و \(\beta = 55°\) : \(35° + 55° = 90°\) ✅ إذن هما متتامتان.

سهل

🤲 كيف أبيّن أن زاويتين متكاملتان؟

التعريف:

زاويتان متكاملتان إذا كان مجموع قياسيهما يساوي 180°.

البرهان — الخطوات:

احسب \(\alpha + \beta\)
إذا كان المجموع = 180°، فالزاويتان متكاملتان

\(\alpha + \beta = 180°\) \(\Leftrightarrow\) الزاويتان متكاملتان

حالة خاصة — الزوج الخطي:

إذا كانت الزاويتان متجاورتان ومتكاملتان، فإن أضلاعهما الخارجية تشكلان خطاً مستقيماً.

💡 تذكير: متتامتان = مجموعهما 90° | متكاملتان = مجموعهما 180°

سهل

⚡ لماذا الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية؟

الوضعية:

عندما يتقاطع مستقيمان، ينتج أربع زوايا. الزوايا المتقابلة بالرأس هي الزوايا التي تقع في الجهتين المتعاكستين من نقطة التقاطع.

البرهان:

لنسمّ الزوايا: \(\alpha\)، \(\beta\)، \(\gamma\)، \(\delta\) بالترتيب.

\(\alpha + \beta = 180°\) (زوج خطي على مستقيم)
\(\gamma + \beta = 180°\) (زوج خطي على نفس المستقيم)
إذن: \(\alpha + \beta = \gamma + \beta\)
نطرح \(\beta\) من الطرفين: \(\alpha = \gamma\) ✓

الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية: \(\alpha = \gamma\) و \(\beta = \delta\)

متوسط

👫 ما شروط الزوايا المتجاورة؟

الشروط الثلاثة للتجاور:

رأس مشترك: نفس نقطة الرأس
ضلع مشترك: شعاع واحد مشترك بينهما
عدم التداخل: لا تتقاطع داخلياً

مثال:

\(\widehat{AOB}\) و \(\widehat{BOC}\) متجاورتان: الرأس المشترك \(O\)، الضلع المشترك \([OB)\)، ولا تتداخلان.

⚠️ انتبه: الزوايا المتقابلة بالرأس ليست متجاورة — ليس لها ضلع مشترك.

سهل

✂️ كيف أبيّن أن شعاعاً ينصف زاوية؟

التعريف:

منصف الزاوية هو الشعاع الذي يقسم الزاوية إلى زاويتين متساويتين.

البرهان — الخطوات:

قِس الزاوية \(\widehat{AOC}\)
قِس الزاوية \(\widehat{COB}\)
إذا كان \(\widehat{AOC} = \widehat{COB}\)، فالشعاع \([OC)\) ينصف \(\widehat{AOB}\)

\([OC)\) منصف \(\widehat{AOB}\) \(\Leftrightarrow\) \(\widehat{AOC} = \widehat{COB} = \dfrac{\widehat{AOB}}{2}\)

💡 خاصية مهمة: كل نقطة على منصف الزاوية تبعد نفس المسافة عن ضلعي الزاوية.

متوسط

🔗 كيف أبيّن تساوي الزوايا المتناظرة؟

الشرط:

عندما يقطع مستقيم مستقيمين متوازيين.

النتيجة:

الزوايا المتناظرة (في نفس الوضعية بالنسبة للقاطع) متساوية.

\((D_1) \parallel (D_2)\) و \((D_3)\) قاطع \(\Rightarrow \alpha_1 = \alpha_2\)

التوظيف في البرهان:

نثبت أن \((D_1) \parallel (D_2)\) (من المعطيات أو بخاصية)
نحدد الزاويتين المتناظرتين
نستنتج تساويهما بخاصية المتوازيين

متوسط

🧪 كيف أختبر أن مستقيمين متوازيان؟

الطريقة 1 — الزوايا المتناظرة:

إذا كانت الزوايا المتناظرة متساوية، فالمستقيمان متوازيان.

الطريقة 2 — الزوايا المتبادلة:

إذا كانت الزوايا المتبادلة الداخلة متساوية، فالمستقيمان متوازيان.

الطريقة 3 — الزوايا الداخلة من نفس الجهة:

إذا كان مجموعهما = 180°، فالمستقيمان متوازيان.

الطريقة 4 — العمودية على مستقيم ثالث:

إذا كان كلاهما عمودياً على نفس المستقيم الثالث، فهما متوازيان.

\((D_1) \perp (D_3)\) و \((D_2) \perp (D_3)\) \(\Rightarrow\) \((D_1) \parallel (D_2)\)

متوسط

🔺 لماذا مجموع زوايا المثلث = 180°؟

البرهان الكلاسيكي:

نرسم من الرأس \(C\) مستقيماً \((D)\) موازياً للقاعدة \([AB]\)
بسبب التوازي: الزاوية المتبادلة لـ \(\widehat{A}\) = \(\widehat{A}\) والزاوية المتبادلة لـ \(\widehat{B}\) = \(\widehat{B}\)
الزوايا الثلاث على الخط المستقيم \((D)\) : مجموعها = 180°
إذن: \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°\)

\(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°\)

💡 التطبيق: إذا عرفت زاويتين من المثلث، الثالثة = \(180° -\) مجموع الأوليين.

متوسط

📐 كيف أحسب الزاوية الخارجة للمثلث؟

التعريف:

الزاوية الخارجة للمثلث هي الزاوية المجاورة لزاوية داخلية وتكوّن معها زوجاً خطياً.

البرهان:

الزاوية الداخلة \(\widehat{C}\) + الزاوية الخارجة \(\widehat{C'}\) = 180° (زوج خطي)
\(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°\) (مجموع زوايا المثلث)
إذن: \(\widehat{C'} = \widehat{A} + \widehat{B}\)

الزاوية الخارجة \(= \widehat{A} + \widehat{B}\) (مجموع الزاويتين الداخليتين غير المجاورتين)

متوسط

🔷 كيف أحسب مجموع زوايا مضلع \(n\) أضلاع؟

الطريقة — التقسيم إلى مثلثات:

نختار رأساً من المضلع
نرسم جميع الأقطار من هذا الرأس
عدد المثلثات الناتجة = \(n - 2\)
مجموع الزوايا = عدد المثلثات × 180°

مجموع الزوايا الداخلة \(= (n - 2) \times 180°\)

أمثلة:

المضلع	عدد الأضلاع \(n\)	مجموع الزوايا
مثلث	3	\((3-2) \times 180° = 180°\)
رباعي	4	\((4-2) \times 180° = 360°\)
خماسي	5	\((5-2) \times 180° = 540°\)
سداسي	6	\((6-2) \times 180° = 720°\)

صعب

⭐ كيف أحسب زاوية المضلع المنتظم؟

المضلع المنتظم:

المضلع المنتظم له جميع أضلاع متساوية وجميع زوايا متساوية.

الحساب:

مجموع الزوايا الداخلة = \((n-2) \times 180°\)
عدد الزوايا = \(n\)
كل زاوية = المجموع ÷ \(n\)

زاوية المضلع المنتظم \(= \dfrac{(n-2) \times 180°}{n}\)

أمثلة:

المضلع	\(n\)	قياس كل زاوية
مثلث متساوي الأضلاع	3	\(60°\)
مربع	4	\(90°\)
خماسي منتظم	5	\(108°\)
سداسي منتظم	6	\(120°\)

صعب

❌ الأخطاء الشائعة في قياس الزوايا

❌ الخطأ 1: الخلط بين المقياسين في المنقلة

❌ قراءة المقياس الخطأ (الداخلي بدل الخارجي أو العكس)
✅ انظر من أي جانب يبدأ الضلع الأول وأقرأ من نفس المقياس

❌ الخطأ 2: الخلط بين المتتامتين والمتكاملتين

❌ قول أن زاويتين مجموعهما 180° متتامتان
✅ متتامتان = 90° | متكاملتان = 180°

❌ الخطأ 3: اعتبار الزوايا المتجاورة متقابلة بالرأس

❌ أخذ زاويتين جانبيتين كمتقابلتين بالرأس
✅ المتقابلتان بالرأس في الجهتين المتعاكستين ولا تتشاركان في ضلع

❌ الخطأ 4: تطبيق خاصية المتوازيات دون إثبات التوازي

❌ استخدام "الزوايا المتناظرة متساوية" مباشرة
✅ يجب أولاً إثبات أن المستقيمين متوازيان

تنبيهات

💡 حيل سريعة لكسب الوقت

⚡ حيلة 1 — مجاميع أساسية:

الزوايا على مستقيم = 180° | الزوايا حول نقطة = 360°
استخدم هذا لإيجاد زاوية مجهولة إذا عرفت الباقي.

⚡ حيلة 2 — حروف للمتوازيات:

حرف F → الزوايا المتناظرة (متساوية)
حرف Z → الزوايا المتبادلة الداخلة (متساوية)
حرف C → الزوايا الداخلة من نفس الجهة (مجموعها 180°)

⚡ حيلة 3 — برهان المتقابلتين بالرأس في سطرين:

\(\alpha + \beta = 180°\) و \(\gamma + \beta = 180°\)
إذن \(\alpha = \gamma\) ✓
(كلاهما مكمّل لنفس الزاوية \(\beta\))

⚡ حيلة 4 — الزاوية الثالثة في المثلث:

إذا عرفت زاويتين: \(\widehat{C} = 180° - \widehat{A} - \widehat{B}\)
لا حاجة لبرهان طويل!

⚡ حيلة 5 — المضلع المنتظم:

زاوية خارجة = \(\frac{360°}{n}\) (أسرع من الصيغة الداخلة!)

نصائح

📐 كيف أبيّن؟
الزوايا — السنة السابعة

مرحباً بك في كيف أبيّن؟

📐 كيف أبيّن؟الزوايا — السنة السابعة

مرحباً بك في كيف أبيّن؟

📐 كيف أبيّن؟
الزوايا — السنة السابعة