تمارين الزوايا والهندسة

تمرين 11

نص التمرين:

[رسم لمثلث ABC، حيث توجد نقطة D على الضلع AC. الزاوية BAD = 20°، والزاوية ABD = 70°.]

1) أكمل الجملة التالية:
الزاويتان ÂDB و B̂DC .......... و منه: .......... = .......... + ..........
2)

أ) احسب قيس الزاوية ÂDB.

ب) ماذا يمثل [BD) بالنسبة للزاوية ÂBC ؟ علل جوابك.
3) أكمل الجملة التالية:
الزاويتان x̂DC و B̂DA .......... و منه: x̂DC = ..........
4)

أ) ابن [Du) منصف الزاوية B̂DC و [Dv) منصف الزاوية ÂDB.

ب) اثبت أن (Du) ⊥ (Dv).

إصلاح تمرين 11

2) أ) في المثلث BDA لدينا: \( \hat{A}DB = 180° - (90° + 70°) = 20° \).
ومنه \( \hat{A}BD = 20° \). نستنتج أن [DB) هو منصف \( \hat{A}BC \).

3) الزاويتان \( \hat{x}DC \) و \( \hat{B}DA \) متقابلتين بالرأس و منه \( \hat{x}DC = \hat{B}DA = 70° \).

4) \( \hat{u}Dv = \hat{u}DB + \hat{B}Dv = \frac{\hat{C}DB}{2} + \frac{\hat{B}DA}{2} = \frac{110+70}{2} = 55°+35°=90° \).
ومنه \( (Du) \perp (Dv) \).

تمرين 12

نص التمرين:

1) لتكن (C) دائرة مركزها O وشعاعها 3صم و [TE] قطرا لها. ابن المماس Δ لـ (C) في النقطة T.
2) لتكن B نقطة من Δ حيث B&#xO302;OT = 60°.
3)

أ) احسب ÔBT و B̂OE.

ب) ابن [Tu) منصف الزاوية ÔTB والذي يقطع (OB) في النقطة F. احسب ÔTF و ÔFT.
4)

أ) ابن المستقيم 'Δ الموازي لـ [ET] والمار من F و الذي يقطع (BT) في النقطة G.

ب) ماهي الوضعية النسبية للمستقيمين 'Δ و (BT). علل جوابك.

ج) أثبت أن المثلث BFG قائم الزاوية في G.

إصلاح تمرين 12

2) أ) المماس للدائرة (C) في T و منه \( B\hat{T}O = 90° \).
في المثلث BOT لدينا: \( \hat{O}BT = 180° - (90°+60°) = 30° \).
الزاويتان \( B\hat{O}T \) و \( B\hat{O}E \) متجاورتان و متكاملتان و منه: \( B\hat{O}E = 180° - 60° = 120° \).

3) [TF) منصف \( O\hat{T}B \) ومنه \( O\hat{T}F = \frac{O\hat{T}B}{2} = \frac{90°}{2} = 45° \).
في المثلث OTF: \( O\hat{F}T = 180° - (60°+45°) = 75° \).

4) أ) لدينا \( \Delta' // (TE) \) و \( (TB) \perp \Delta \)
ج) في المثلث GFB لدينا: \( B\hat{G}F = 90° \) و \( F\hat{B}G = 30° \) ومنه \( B\hat{F}G = 60° \).

تمرين 13

نص التمرين:

[رسم لزاوية قائمة xAy. توجد نقطة B على نصف المستقيم [Ay) ونقطة C على قطعة مستقيمة تربط بين محوري الزاوية. الزاوية ÂBC تساوي 50° والبعد AB يساوي 3صم.]

1)

أ) احسب ÂCB.

ب) استنتج x̂Cy.
2) أثبت أن الزاويتان ĈBA و ŷCx متتامتان.
3) لتكن D نقطة من (Az] حيث AD=3cm.

أ) أثبت أن (CA) هو الموسط العمودي لـ [BD].

ب) قارن بين الأبعاد: CB و CD. علل جوابك.
4) ابن [Bu) منصف الزاوية x̂Bz والذي يقطع المستقيم (AC) في النقطة E. احسب B̂EA.
5) ارسم النقطة F المسقط العمودي لـ E على (By). قارن الأبعاد EF و EA معللاً جوابك.

إصلاح تمرين 13

1) أ) في المثلث ABC لدينا: \( A\hat{C}B = 180° - (90°+50°) = 40° \).
ب) \( \hat{x}Cy \) و \( A\hat{C}B \) متقابلتان بالرأس و منه \( \hat{x}Cy = 40° \).

2) لدينا \( C\hat{B}A + \hat{x}Cy = 50°+40°=90° \)، و منه الزاويتان \( C\hat{B}A \) و \( \hat{x}Cy \) متتامتان.

3) أ) لدينا A منتصف [DB] و المستقيم (AC) عمودي على [DB] في منتصفه إذن فهو الموسط العمودي له.
ب) C تنتمي إلى الموسط العمودي، و منه \( CB = CD \).

4) في المثلث AEB القائم في A لدينا: \( B\hat{E}A = 180° - (90°+25°) = 65° \).

5) E نقطة من منصف الزاوية \( C\hat{B}A \)، A مسقط E على (BA) و F مسقط E على (BC) و منه \( FE = AE \) لأن كل نقطة من منصف الزاوية تبعد نفس البعد عن ضلعي الزاوية.

تمرين 14

نص التمرين:

[رسم لخط مستقيم، عليه نقاط A، B، C بالترتيب. من النقطة C، يوجد نصف مستقيم [Cx) يصنع زاوية 60° مع امتداد القطعة [AC).]

1) احسب معللا جوابك أقيسة الزوايا ÂBC، و ÂCB، و ÂCx.
2)

أ) ليكن [Cz) منصف الزاوية ÂCx. ابن [Cz) ثم احسب ÂCz.

ب) حدد منصف الزاوية B̂Cz.
3) ابن الدائرة (C) التي مركزها B وشعاعها 2صم والتي تقطع [AB] في النقطة I.

أ) ماهي الوضعية النسبية لـ (C) و (Ay].

ب) ابن المماس Δ للدائرة (C) في I، ماهي الوضعية النسبية لـ Δ و (Ay). علل جوابك.

إصلاح تمرين 14

1) في المثلث ABC لدينا: \( A\hat{C}B = 180° - (90°+60°) = 30° \).
الزاويتان \( A\hat{C}B \) و \( A\hat{C}x \) متجاورتان و متكاملتان و منه: \( A\hat{C}x = 180° - 60° = 120° \).

2) أ) \( A\hat{C}z = \frac{A\hat{C}x}{2} = \frac{120°}{2} = 60° \).
ب) لدينا: \( B\hat{C}A = A\hat{C}z = 60° \) و منه [CA) هو منصف الزاوية \( B\hat{C}z \).

3) أ) \( BI < BA \) و منه (C) و [Ay) منفصلان.
ب) لدينا: \( \Delta \perp (BA) \) (Δ مماس لـ (C) في I)
و \( (Ay) \perp (BA) \).
إذن: \( \Delta // (AH) \).