التمرين الثالث: منصفات الزوايا في المثلث
التمرين عدد 3 (5 نقاط)
تأمل الشكل حيث:
- ∠BCx = 30°
- ∠BAC = 40°
- (Cx) منصف الزاوية ∠ACB
الشكل يوضح مثلث ABC مع نصف المستقيم [Cx) الذي يمثل منصف الزاوية ∠ACB، والزوايا المحددة
تذكير: منصف الزاوية هو نصف المستقيم الذي يقسم الزاوية إلى زاويتين متساويتين
1) احسب ∠ABC معللاً جوابك
حساب الزاوية ∠ABC
نعلم أن:
- ∠BAC = 40° (معطى)
- (Cx) منصف الزاوية ∠ACB
- ∠BCx = 30°
خاصية:
منصف الزاوية يقسمها إلى زاويتين متساويتين
إذن:
بما أن (Cx) منصف ∠ACB، فإن:
∠ACx = ∠BCx = 30°
∠ACB = ∠ACx + ∠BCx = 30° + 30° = 60°
∠ACB = ∠ACx + ∠BCx = 30° + 30° = 60°
خاصية أخرى:
مجموع زوايا المثلث يساوي 180°
إذن:
∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°
40° + ∠ABC + 60° = 180°
100° + ∠ABC = 180°
∠ABC = 180° - 100° = 80°
40° + ∠ABC + 60° = 180°
100° + ∠ABC = 180°
∠ABC = 180° - 100° = 80°
∠ABC = 80°
2) أ) أين (Cy) منصف الزاوية ∠ACt
تحديد موقع منصف الزاوية ∠ACt
نعلم أن:
- النقاط B، C، z تقع على خط مستقيم واحد (من الشكل)
- ∠ACt هي الزاوية المكملة للزاوية ∠ACB
خاصية:
الزاويتان ∠ACB و ∠ACt متكاملتان (مجموعهما 180°) لأنهما على خط مستقيم
إذن:
∠ACB + ∠ACt = 180° (زاويتان متكاملتان)
60° + ∠ACt = 180°
∠ACt = 180° - 60° = 120°
60° + ∠ACt = 180°
∠ACt = 180° - 60° = 120°
تعريف منصف الزاوية:
(Cy) منصف ∠ACt يقسمها إلى زاويتين متساويتين كل منهما 60°
(Cy) هو نصف المستقيم الذي يخرج من C ويقسم الزاوية ∠ACt إلى زاويتين متساويتين
ب) احسب ∠ACy
حساب الزاوية ∠ACy
نعلم أن:
- ∠ACt = 120° (من السؤال السابق)
- (Cy) منصف الزاوية ∠ACt
خاصية:
منصف الزاوية يقسمها إلى زاويتين متساويتين
إذن:
∠ACy = ∠yCt = ∠ACt ÷ 2
∠ACy = 120° ÷ 2 = 60°
∠ACy = 120° ÷ 2 = 60°
∠ACy = 60°
3) استنتج أن (Cx) ⊥ (Cy)
إثبات أن (Cx) ⊥ (Cy)
نعلم أن:
- ∠ACx = 30° (لأن (Cx) منصف ∠ACB = 60°)
- ∠ACy = 60° (من السؤال السابق)
- النقاط x، C، y تشكل زاوية ∠xCy
ملاحظة هندسية:
الزاوية ∠xCy = ∠ACy + ∠ACx (لأن y و x على جهتين مختلفتين من AC)
إذن:
∠xCy = ∠ACy + ∠ACx
∠xCy = 60° + 30° = 90°
∠xCy = 60° + 30° = 90°
تعريف:
إذا كانت الزاوية بين مستقيمين تساوي 90°، فإن المستقيمين متعامدان
بما أن ∠xCy = 90°، فإن (Cx) ⊥ (Cy)
برهان آخر (طريقة بديلة)
نظرية:
منصفا زاويتين متكاملتين متعامدان دائماً
التطبيق:
- ∠ACB و ∠ACt زاويتان متكاملتان (مجموعهما 180°)
- (Cx) منصف ∠ACB
- (Cy) منصف ∠ACt
إذن:
منصفا الزاويتين المتكاملتين متعامدان
لذلك (Cx) ⊥ (Cy)
ملخص النتائج النهائية:
• ∠ABC = 80°
• ∠ACB = 60°
• ∠ACt = 120°
• ∠ACy = 60°
• ∠ACx = 30°
• (Cx) ⊥ (Cy) لأن ∠xCy = 90°
النظرية المهمة: منصفا زاويتين متكاملتين متعامدان دائماً