التمرين الثالث - شبه المنحرف القائم

تأمل الشكل حيث:

ABCD شبه منحرف قائم في A و D
∠ABC = 130°
∠ACD = 25°
AD = 3cm

الشكل يوضح شبه منحرف ABCD بزوايا قائمة في A و D، مع الزوايا والأطوال المحددة

أ) احسب ∠BCD

حساب الزاوية ∠BCD

نعلم أن:

ABCD شبه منحرف قائم في A و D
∠ABC = 130°
AD ∥ BC (خاصية شبه المنحرف)

خاصية:

في شبه المنحرف، مجموع الزاويتين المتجاورتين على نفس الجانب يساوي 180°

إذن:

∠ABC + ∠BCD = 180° (زاويتان متتاليتان في شبه المنحرف)
130° + ∠BCD = 180°
∠BCD = 180° - 130° = 50°

∠BCD = 50°

ب) استنتج أن [CA] منصف الزاوية ∠BCD

إثبات أن [CA] منصف الزاوية ∠BCD

نعلم أن:

∠BCD = 50° (من السؤال السابق)
∠ACD = 25° (معطى)

تعريف:

منصف الزاوية هو نصف المستقيم الذي يقسم الزاوية إلى زاويتين متساويتين

إذن:

إذا كان [CA] منصف ∠BCD، فإن:

∠BCA = ∠ACD
∠BCA = ∠BCD - ∠ACD = 50° - 25° = 25°
∠BCA = ∠ACD = 25°

[CA] منصف الزاوية ∠BCD لأن ∠BCA = ∠ACD = 25°

1) أ) أين النقطة E المسقط العمودي لـ A على (BC)

تحديد موقع النقطة E

الإنشاء الهندسي:

نرسم العمود من النقطة A على المستقيم (BC)
نقطة تقاطع هذا العمود مع (BC) هي النقطة E
E هي أقرب نقطة على (BC) إلى النقطة A

خاصية:

المسقط العمودي لنقطة على مستقيم هو نقطة تقاطع العمود المرسوم من تلك النقطة على المستقيم

النقطة E تقع على القطعة [BC] بحيث AE ⊥ BC

ب) بيّن أن AE = 3cm

إثبات أن AE = 3cm

نعلم أن:

ABCD شبه منحرف قائم في A و D
AD = 3cm
AD ⊥ AB و AD ⊥ DC
AE ⊥ BC

خاصية:

في شبه المنحرف القائم، المسافة بين القاعدتين المتوازيتين تساوي ارتفاع شبه المنحرف

إذن:

بما أن AD ∥ BC وكلاهما عمودي على الجانبين AB و DC، فإن:

المسافة بين AD و BC = ارتفاع شبه المنحرف = AD = 3cm
AE = المسافة العمودية من A إلى BC = 3cm

AE = 3cm

2) أ) أين الدائرة (ℰ) التي مركزها A و شعاعها 3cm

وصف الدائرة (ℰ)

المعطيات:

مركز الدائرة: النقطة A
نصف القطر: 3cm

تعريف:

الدائرة (ℰ) هي مجموعة جميع النقاط التي تبعد مسافة 3cm عن النقطة A

إذن:

الدائرة (ℰ) = {M / AM = 3cm}

الدائرة (ℰ) مركزها A ونصف قطرها 3cm تمر بجميع النقاط التي تبعد 3cm عن A

ب) ما هي الوضعية النسبية لـ (ℰ) و (EC)؟ علل جوابك

تحديد الوضعية النسبية للدائرة (ℰ) والمستقيم (EC)

نعلم أن:

الدائرة (ℰ) مركزها A ونصف قطرها 3cm
E نقطة على المستقيم (BC)
AE ⊥ BC
AE = 3cm

قاعدة:

الوضعية النسبية بين دائرة ومستقيم تحدد بمقارنة المسافة من المركز إلى المستقيم مع نصف القطر

إذن:

المسافة من A إلى المستقيم (EC) = AE = 3cm
نصف قطر الدائرة (ℰ) = 3cm
المسافة = نصف القطر

نتيجة:

إذا كانت المسافة من مركز الدائرة إلى المستقيم تساوي نصف القطر، فإن المستقيم مماس للدائرة

المستقيم (EC) مماس للدائرة (ℰ) في النقطة E

3) عيّن النقطة M من الدائرة (ℰ) تكون متساوية البعد عن (CE) و (CD)، علل جوابك

إيجاد النقطة M متساوية البعد عن (CE) و (CD)

نعلم أن:

M نقطة على الدائرة (ℰ) مركزها A
M متساوية البعد عن المستقيمين (CE) و (CD)
[CA] منصف الزاوية ∠BCD

خاصية:

النقاط متساوية البعد عن ضلعي زاوية تقع على منصف تلك الزاوية

إذن:

بما أن M متساوية البعد عن (CE) و (CD)، فإن M تقع على منصف الزاوية ∠ECD

وبما أن [CA] منصف ∠BCD وأن E على (BC)، فإن [CA] هو منصف ∠ECD

تحديد M:

M تقع على تقاطع الدائرة (ℰ) مع نصف المستقيم [CA)
M = تقاطع الدائرة (ℰ) مع [CA)
AM = 3cm (نصف قطر الدائرة)

النقطة M هي نقطة تقاطع الدائرة (ℰ) مع نصف المستقيم [CA) حيث AM = 3cm

ملخص النتائج النهائية:

• ∠BCD = 50°

• [CA] منصف الزاوية ∠BCD

• E هي المسقط العمودي لـ A على (BC)

• AE = 3cm

• الدائرة (ℰ) مركزها A ونصف قطرها 3cm

• المستقيم (EC) مماس للدائرة (ℰ) في النقطة E

• النقطة M على تقاطع الدائرة (ℰ) مع [CA) متساوية البعد عن (CE) و (CD)