تمرين الخطوط المتوازية والزوايا

معطيات المسألة:

في الرسم الموافق: (BE) ∥ (AC)
∠DAC = 55°
∠BAF = 35°
EB = 2 و AB = 3

الشكل يوضح النقاط F، A، D على خط مستقيم أفقي، والنقاط B، E، C على خطوط أخرى، مع الزوايا المحددة

1) بيّن أن المستقيمين (AB) و (AC) متعامدان

إثبات تعامد المستقيمين (AB) و (AC)

نعلم أن:

النقاط F، A، D تقع على خط مستقيم واحد
∠BAF = 35°
∠DAC = 55°

خاصية:

الزاوية المستقيمة تساوي 180°

إذن:

∠FAD = 180° (زاوية مستقيمة)
∠BAF + ∠BAC + ∠CAD = 180°
35° + ∠BAC + 55° = 180°
90° + ∠BAC = 180°
∠BAC = 180° - 90° = 90°

∠BAC = 90°، إذن المستقيمان (AB) و (AC) متعامدان

ب) استنتج أن المستقيمين (AB) و (BE) متعامدان

استنتاج تعامد المستقيمين (AB) و (BE)

نعلم أن:

(BE) ∥ (AC) (معطى)
(AB) ⊥ (AC) (من السؤال السابق)

خاصية:

إذا كان خط مستقيم عمودياً على أحد خطين متوازيين، فهو عمودي على الآخر أيضاً

إذن:

بما أن (AB) ⊥ (AC) و (BE) ∥ (AC)

فإن (AB) ⊥ (BE)

المستقيمان (AB) و (BE) متعامدان

2) حدد بعد النقطة E عن المستقيم (AC) - علل جوابك

حساب بعد النقطة E عن المستقيم (AC)

نعلم أن:

(BE) ∥ (AC)
(AB) ⊥ (AC) و (AB) ⊥ (BE)
EB = 2

خاصية:

المسافة بين خطين متوازيين هي طول العمود المشترك بينهما

إذن:

بما أن (AB) عمودي على كل من (BE) و (AC)، فإن المسافة بين الخطين المتوازيين (BE) و (AC) تساوي طول القطعة [BE]

بعد النقطة E عن المستقيم (AC) = BE = 2 وحدة

3) لتكن C دائرة مركزها E وتمر من B

أ - ما هي الوضعية النسبية للدائرة C والمستقيم (AC)؟ علل جوابك

ب - ما هي الوضعية النسبية للدائرة C والمستقيم (AB)؟ علل جوابك

أ) الوضعية النسبية للدائرة C والمستقيم (AC)

نعلم أن:

الدائرة C مركزها E ونصف قطرها EB = 2
بعد النقطة E عن المستقيم (AC) = 2

خاصية:

إذا كانت المسافة من مركز الدائرة إلى المستقيم تساوي نصف القطر، فإن المستقيم مماس للدائرة

إذن:

بما أن المسافة من E إلى (AC) = نصف القطر = 2

المستقيم (AC) مماس للدائرة C

ب) الوضعية النسبية للدائرة C والمستقيم (AB)

نعلم أن:

النقطة B تقع على الدائرة C (لأن الدائرة تمر من B)
المستقيم (AB) يمر بالنقطة B
(AB) ⊥ (BE) حيث E مركز الدائرة

خاصية:

إذا كان المستقيم يمر بنقطة على الدائرة وكان عمودياً على نصف القطر في تلك النقطة، فهو مماس للدائرة

إذن:

المستقيم (AB) يمر بالنقطة B وهو عمودي على نصف القطر [EB]

المستقيم (AB) مماس للدائرة C في النقطة B

4) أكمل بما يناسب:

أ - الزاويتان ∠BAF و ∠DAC

ب - الزاويتان ∠DAC و متجاورتان ومتكاملتان

إكمال العبارات

أ) تحديد العلاقة بين ∠BAF و ∠DAC:

∠BAF = 35°
∠DAC = 55°
مجموعهما: 35° + 55° = 90°

تعريف:

زاويتان متتامتان إذا كان مجموعهما 90°

الزاويتان ∠BAF و ∠DAC متتامتان

ب) إيجاد الزاوية المتجاورة والمتكاملة مع ∠DAC:

∠DAC = 55°
نبحث عن زاوية مجاورة لها ومجموعهما 180°

تعريف:

زاويتان متجاورتان ومتكاملتان إذا كان لهما ضلع مشترك ومجموعهما 180°

إذن:

الزاوية المطلوبة = 180° - 55° = 125°

هذه الزاوية هي ∠BAC = 90° + ∠CAD المتممة = 180° - 55° = 125°

الزاويتان ∠DAC و ∠CAF متجاورتان ومتكاملتان

ملخص النتائج النهائية:

• المستقيمان (AB) و (AC) متعامدان

• المستقيمان (AB) و (BE) متعامدان

• بعد النقطة E عن المستقيم (AC) = 2 وحدة

• المستقيم (AC) مماس للدائرة C

• المستقيم (AB) مماس للدائرة C في النقطة B

• الزاويتان ∠BAF و ∠DAC متتامتان

• الزاويتان ∠DAC و ∠CAF متجاورتان ومتكاملتان