التمرين السابع: أربع نقاط "متدائرة"
تعريف: نقول عن عدة نقاط أنها
"متدائرة" إذا كانت تقع جميعها على نفس الدائرة.
معطيات المسألة:
- A و B نقطتان مختلفتان غير متقابلتين قطرياً على دائرة (C) مركزها O
- النقطة M هي نقطة تقاطع المماسين للدائرة (C) في النقطتين A و B
- I هي منتصف القطعة [OM]
الشكل يوضح الدائرة (C) بمركز O، والنقطتين A و
B عليها، والمماسين المتقاطعين في M، والنقطة I منتصف [OM]
المطلوب برهانه:
أثبت أن النقاط O و A و B تنتمي إلى الدائرة ذات المركز I والمارة بالنقطة M
أثبت أن النقاط O و A و B تنتمي إلى الدائرة ذات المركز I والمارة بالنقطة M
استراتيجية البرهان:
لإثبات أن النقاط O، A، B تقع على دائرة مركزها I ومارة بـ M، يجب
إثبات أن: IA = IB = IO = IM
الخطوة الأولى: إثبات أن IA = IM
نعلم أن:
- MA مماس للدائرة (C) في النقطة A
- O مركز الدائرة (C)
خاصية:
المماس للدائرة عمودي على نصف القطر في نقطة التماس
إذن:
OA ⊥ MA
خاصية أخرى:
في المثلث OAM القائم الزاوية في A، إذا كانت I منتصف الوتر OM، فإن IA = IM = ½OM
النتيجة: IA = IM
الخطوة الثانية: إثبات أن IB = IM
نعلم أن:
- MB مماس للدائرة (C) في النقطة B
- O مركز الدائرة (C)
خاصية:
المماس للدائرة عمودي على نصف القطر في نقطة التماس
إذن:
OB ⊥ MB
خاصية:
في المثلث OBM القائم الزاوية في B، إذا كانت I منتصف الوتر OM، فإن IB = IM = ½OM
النتيجة: IB = IM
الخطوة الثالثة: إثبات أن IO = IM
نعلم أن:
I هي منتصف القطعة [OM]
خاصية:
إذا كانت I منتصف القطعة [OM]، فإن IO = IM = ½OM
النتيجة: IO = IM
الخطوة الرابعة: الخلاصة النهائية
من الخطوات السابقة نحصل على:
IA = IM = IB = IO = ½OM
تعريف الدائرة:
الدائرة هي مجموعة النقاط التي تبعد مسافة ثابتة (نصف القطر) عن نقطة ثابتة (المركز)
إذن:
بما أن النقاط O، A، B، M تبعد جميعها نفس المسافة عن النقطة I، فهي تقع جميعها على دائرة مركزها I
النقاط O، A، B تنتمي إلى الدائرة ذات المركز I
والمارة بالنقطة M
البرهان مكتمل:
النقاط الأربع O، A، B، M متدائرة
ملخص البرهان:
- استخدمنا خاصية عمودية المماس على نصف القطر
- طبقنا خاصية منتصف الوتر في المثلث القائم الزاوية
- أثبتنا أن جميع النقاط تبعد نفس المسافة عن I
- استنتجنا أن النقاط تقع على دائرة مركزها I