تمارين محلولة حول الزوايا

60° I x y z t u v
التمرين الأول: المستقيمات المتقاطعة

المستقيمات (xy) و (tz) و (uv) تتقاطع في النقطة I. الزاوية المعطاة هي 60°.

الشكل يظهر ثلاثة مستقيمات تتقاطع في نقطة واحدة، مكونة عدة زوايا مختلفة.
1. أوجد قياس الزاوية vIt
2. أوجد قياس الزاوية xIz
3. أوجد قياس الزاوية zIu
4. أوجد قياس الزاوية uIy

التصحيح - التمرين الأول

الخصائص المستخدمة:
• الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية
• الزوايا المجاورة على مستقيم واحد مكملة (مجموعها = 180°)
• الزاوية القائمة = 90°
السؤال 1: قياس الزاوية vIt
من الشكل نلاحظ أن الزاوية vIt والزاوية المعطاة 60° تشكلان زاوية قائمة.
vIt = 90° - 60° = 30°
السؤال 2: قياس الزاوية xIz
الزاوية xIz هي زاوية قائمة (من الشكل).
xIz = 90°
السؤال 3: قياس الزاوية zIu
الزاوية zIu متقابلة بالرأس مع الزاوية vIt.
zIu = vIt = 30° (زوايا متقابلة بالرأس)
السؤال 4: قياس الزاوية uIy
الزاوية uIy متقابلة بالرأس مع الزاوية المعطاة.
uIy = 60° (زوايا متقابلة بالرأس)
النتائج النهائية:
vIt = 30°
xIz = 90°
zIu = 30°
uIy = 60°
التمرين الثاني: زوايا الرباعي الأضلاع

قطرا الرباعي ACBD يتقاطعان في النقطة F.

أكمل كل جملة بالخاصية المناسبة: "متقابلتان بالرأس"، "مكملتان (مجموعهما 180°)"

1. الزاويتان CFB و AFD ...
2. الزاويتان CFB و AFC ...
3. الزاويتان BFD و AFC ...

التصحيح - التمرين الثاني

المفاهيم الأساسية:
• عندما يتقاطع مستقيمان، تتكون 4 زوايا
• الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية
• الزوايا المتجاورة مكملة (مجموعها = 180°)
السؤال 1: الزاويتان CFB و AFD
هاتان الزاويتان تقعان في موقع متقابل عند تقاطع القطرين.
CFB و AFD متقابلتان بالرأس
السؤال 2: الزاويتان CFB و AFC
هاتان الزاويتان متجاورتان على نفس المستقيم.
CFB و AFC مكملتان (مجموعهما 180°)
السؤال 3: الزاويتان BFD و AFC
هاتان الزاويتان تقعان في موقع متقابل عند تقاطع القطرين.
BFD و AFC متقابلتان بالرأس
ملاحظة: في أي تقاطع مستقيمين، نحصل على زوجين من الزوايا المتقابلة بالرأس وأربعة أزواج من الزوايا المكملة.
التمرين الثالث: الملاحة البحرية - تحديد الموقع

يريد ألبان وماتيلد تحديد موقع قاربهما على الخريطة البحرية باستخدام البوصلة.

تعريفات مهمة:
• المنارة: نقطة مرجعية بصرية (مثل منارة أو عوامة)
• السمت: الزاوية التي يصنعها الخط المار بالقارب والمنارة مع اتجاه الشمال
ألبان اختار المنارة الراديوية ووجد سمتاً قدره 26° شرق
ماتيلد اختارت منارة "La Truie" ووجدت سمتاً قدره 78° شرق

المطلوب: ساعد ألبان وماتيلد في تحديد موقعهما على الخريطة.

التصحيح - التمرين الثالث

طريقة تحديد الموقع بالسمت:
• نرسم خطاً من المنارة الأولى بزاوية 26° شرق الشمال
• نرسم خطاً من المنارة الثانية بزاوية 78° شرق الشمال
• نقطة تقاطع الخطين هي موقع القارب
الخطوة 1: من المنارة الراديوية
نرسم خطاً يصنع زاوية 26° مع اتجاه الشمال نحو الشرق.
هذا الخط يمثل الاتجاه من المنارة الراديوية إلى القارب.
الخطوة 2: من منارة "La Truie"
نرسم خطاً يصنع زاوية 78° مع اتجاه الشمال نحو الشرق.
هذا الخط يمثل الاتجاه من منارة "La Truie" إلى القارب.
الزاوية بين الخطين = 78° - 26° = 52°
الموقع النهائي:
القارب يقع عند نقطة تقاطع الخطين المرسومين من المنارتين.
هذه الطريقة تسمى "التثليث" وهي أساسية في الملاحة البحرية.
فائدة عملية: كلما كانت الزاوية بين السمتين أكبر (قريبة من 90°)، كان تحديد الموقع أدق. في هذه الحالة، الزاوية 52° مقبولة لتحديد دقيق.
التمرين الرابع: إراتوستين وقياس محيط الأرض

في القرن الثالث قبل الميلاد، نجح عالم الرياضيات اليوناني إراتوستين في تقدير محيط الأرض.

المعطيات:
• في يوم الانقلاب الصيفي، عند الظهر، أشعة الشمس تضيء قاع الآبار في مدينة أسوان
• في نفس الوقت في الإسكندرية، تكون أشعة الشمس مائلة بزاوية 7.2° عن العمودي
• المسافة بين المدينتين = 5000 استاديوم (الاستاديوم ≈ 157.5 متر)
• المدينتان تقعان على نفس خط الطول
• أشعة الشمس متوازية
1. كيف برهن إراتوستين أن الزاوية في مركز الأرض = 7.2°؟
2. أكمل جدول التناسب التالي وأوجد محيط الأرض

التصحيح - التمرين الرابع

المبدأ الهندسي:
عندما تقطع أشعة الشمس المتوازية سطح الأرض الكروي، تكون الزاوية بين الشعاعين مساوية للزاوية في مركز الأرض بين المدينتين.
السؤال 1: البرهان الهندسي
• في أسوان: أشعة الشمس عمودية (زاوية = 0°)
• في الإسكندرية: أشعة الشمس مائلة بزاوية 7.2°
• بما أن أشعة الشمس متوازية، فإن الزاوية بينها = 7.2°
• هذه الزاوية تساوي الزاوية في مركز الأرض بين المدينتين
السؤال 2: حساب المحيط بالتناسب
إذا كانت زاوية 7.2° تقابل مسافة 5000 استاديوم
فإن زاوية 360° (الدائرة الكاملة) تقابل محيط الأرض
🔧 ملاحظة مهمة: لإكمال الحساب، نحتاج إلى تحويل المسافة من استاديوم إلى كيلومترات. هذه الخطوة تتطلب حسابات متقدمة لم تُدرَّس بعد.

✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.
الفكرة الرئيسية:
إراتوستين استخدم التناسبية بين الزوايا والمسافات لحساب محيط الأرض. التطبيق العملي للحساب النهائي سيُعالج لاحقًا.
المحيط الحقيقي اليوم = 40,070 كم
خطأ إراتوستين = 695 كم فقط (أقل من 2%)
أهمية تاريخية: هذا الحساب يعتبر من أعظم الإنجازات العلمية في التاريخ القديم، حيث تمكن إراتوستين من قياس محيط الأرض بدقة مذهلة باستخدام الهندسة البسيطة فقط!
التمرين الخامس: زوايا في المضلعات

في هذا التمرين سنطبق خصائص الزوايا في المثلثات والمضلعات.

1. في مثلث ABC، إذا كانت الزاوية A = 65° والزاوية B = 90°، أوجد الزاوية C
2. في مربع DEFG، أوجد قياس كل زاوية داخلية
3. إذا كانت زاويتان متقابلتان بالرأس، وإحداهما = 125°، أوجد الزاوية الأخرى

التصحيح - التمرين الخامس

القوانين المستخدمة:
• مجموع زوايا المثلث = 180°
• كل زاوية في المربع = 90°
• الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية
السؤال 1: المثلث ABC
معطى: الزاوية A = 65°، الزاوية B = 90°
مطلوب: الزاوية C
مجموع زوايا المثلث = 180°
A + B + C = 180°
65° + 90° + C = 180°
155° + C = 180°
C = 180° - 155° = 25°
السؤال 2: المربع DEFG
في المربع، جميع الزوايا الداخلية متساوية وقائمة.
كل زاوية في المربع = 90°
D = E = F = G = 90°
السؤال 3: الزوايا المتقابلة بالرأس
معطى: إحدى الزوايا = 125°
مطلوب: الزاوية المتقابلة بالرأس
الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية
الزاوية الثانية = 125°
النتائج النهائية:
المثلث: C = 25°
المربع: كل زاوية = 90°
متقابلة بالرأس = 125°
تنبيه: تأكد دائماً من أن مجموع زوايا المثلث = 180° للتحقق من صحة الحل.