مراجعة الزوايا - تمارين تفاعلية

تحديد نوع الزوايا

تمرين 1

اعتبر الرسم التالي:

الزاويتان C و D هما:

☐ متكاملتان
☐ متتامتان

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر تعريف الزوايا المتتامة والمتكاملة. الأمر يتعلق بمجموع قياسهما.

📝 الطريقة

زاويتان متتامتان: مجموعهما يساوي \(90^\circ\).
زاويتان متكاملتان: مجموعهما يساوي \(180^\circ\).
انظر إلى الشكل الهندسي وقدر طبيعة الزاوية التي يشكلانها معًا لتحديد العلاقة بينهما.

✅ الحل الكامل

لتحديد العلاقة بين الزاويتين، يجب فحص مجموعهما:

إذا كان \(C + D = 90^\circ\)، فهما متتامتان.
إذا كان \(C + D = 180^\circ\)، فهما متكاملتان.

بناءً على معظم الأشكال الهندسية القياسية، يتم وضع السؤال لاختبار هذه المفاهيم. بدون الشكل، لا يمكن الجزم، ولكن السؤال يوجهك نحو هذين الخيارين.

حساب قياس الزوايا

تمرين 2

لاحظ الرسم التالي، ثم احسب دون استعمال المنقلة كل من الزاويتين \(y\hat{O}z\) و \(t\hat{O}y\).

(رسم يحتوي على زوايا مع قياسات \(116^\circ\) و \(47^\circ\))

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

انتبه إلى الزوايا التي تشكل خطًا مستقيمًا. ما هو مجموع قياسات الزوايا على خط مستقيم؟

📝 الطريقة

لحساب \(y\hat{O}z\):

الزاوية المعطاة \(116^\circ\) والزاوية \(y\hat{O}z\) متجاورتان على خط مستقيم، فهما متكاملتان. إذن:

\(y\hat{O}z = 180^\circ - 116^\circ\)

لحساب \(t\hat{O}y\):

الزوايا \(t\hat{O}y\)، \(y\hat{O}z\) و \(47^\circ\) تشكل معًا زاوية مستقيمة. إذن:

\(t\hat{O}y = 180^\circ - 47^\circ - (\text{قيمة } y\hat{O}z)\)

✅ الحل الكامل

حساب \(y\hat{O}z\):

الزاويتان متكاملتان لأن مجموعهما يشكل زاوية مستقيمة (\(180^\circ\)).

\[y\hat{O}z = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ\]

حساب \(t\hat{O}y\):

مجموع الزوايا الثلاث على الخط المستقيم هو \(180^\circ\).

\[t\hat{O}y = 180^\circ - 47^\circ - 64^\circ = 69^\circ\]

زوايا متتامة ومتكاملة

تمرين 4

أ) الزاويتان \(A\hat{B}C\) و \(I\hat{J}K\) متتامتان، أكمل بما يناسب:

\(I\hat{J}K = \dots\) حيث \(A\hat{B}C = 24^\circ\)
\(A\hat{B}C = \dots\) حيث \(I\hat{J}K = 58^\circ\)
\(I\hat{J}K = \dots\) حيث \(A\hat{B}C = 45^\circ\)

ب) الزاويتان \(E\hat{F}G\) و \(M\hat{N}O\) متكاملتان، أكمل بما يناسب:

\(M\hat{N}O = \dots\) حيث \(E\hat{F}G = 24^\circ\)
\(E\hat{F}G = \dots\) حيث \(M\hat{N}O = 58^\circ\)
\(M\hat{N}O = \dots\) حيث \(E\hat{F}G = 45^\circ\)

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر أن مجموع الزاويتين المتتامتين هو \(90^\circ\)، ومجموع الزاويتين المتكاملتين هو \(180^\circ\).

📝 الطريقة

أ) للزوايا المتتامة:

استخدم المعادلة: \(X + Y = 90^\circ\). إذا كنت تعرف إحدى الزاويتين، يمكنك حساب الأخرى بطرحها من 90.

مثال: \(I\hat{J}K = 90^\circ - A\hat{B}C\)

ب) للزوايا المتكاملة:

استخدم المعادلة: \(X + Y = 180^\circ\). إذا كنت تعرف إحدى الزاويتين، يمكنك حساب الأخرى بطرحها من 180.

مثال: \(M\hat{N}O = 180^\circ - E\hat{F}G\)

✅ الحل الكامل

أ) الزوايا المتتامة (المجموع = \(90^\circ\)):

\(I\hat{J}K = 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ\)
\(A\hat{B}C = 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ\)
\(I\hat{J}K = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\)

ب) الزوايا المتكاملة (المجموع = \(180^\circ\)):

\(M\hat{N}O = 180^\circ - 24^\circ = 156^\circ\)
\(E\hat{F}G = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ\)
\(M\hat{N}O = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\)

الزوايا المتجاورة

تمرين 7

أذكر في كل حالة من الحالات التالية إن كانت الزاويتان متجاورتين أم لا، مع التعليل.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لتكون زاويتان متجاورتين، يجب أن تتحقق ثلاثة شروط. ما هي؟

📝 الطريقة

لكي تكون زاويتان متجاورتين، يجب أن يتوفر فيهما الشروط الثلاثة التالية:

رأس مشترك: يجب أن تشتركا في نفس الرأس.
ضلع مشترك: يجب أن يفصل بينهما ضلع مشترك.
جهتان مختلفتان: يجب أن تكونا من جهتين مختلفتين من الضلع المشترك.

لكل شكل، تحقق من هذه الشروط الثلاثة. إذا لم يتحقق شرط واحد على الأقل، فهما غير متجاورتين.

✅ الحل الكامل

تعريف: تكون زاويتان متجاورتين إذا كان لهما نفس الرأس، وتشتركان في ضلع يفصل بينهما.

تحليل كل شكل:

الحالة 1: (مثال) نعم، متجاورتان لأنهما تشتركان في الرأس O والضلع [OB] و تقعان على جانبين مختلفين منه.
الحالة 2: (مثال) لا، ليستا متجاورتين لأنهما لا تشتركان في الرأس.
الحالة 3: (مثال) لا، ليستا متجاورتين لأنهما تتداخلان (واحدة داخل الأخرى).

يجب تطبيق هذه القاعدة على كل شكل من الأشكال المعروضة.

مستطيل ومثلث متقايس الأضلاع

تمرين 37

تأمل الرسم المقابل حيث: \(ABCD\) مستطيل و \(EDC\) مثلث متقايس الأضلاع.

أ) احسب \(A\hat{D}E\).
ب) استنتج \(A\hat{F}D\) و \(E\hat{F}G\).
احسب \(E\hat{G}F\).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استفد من خصائص الأشكال الهندسية الأساسية.

ما هو قيس كل زاوية في مستطيل؟
ما هو قيس كل زاوية في مثلث متقايس الأضلاع؟

📝 الطريقة

1أ) لحساب \(A\hat{D}E\):

الزاوية \(A\hat{D}E\) هي الفرق بين الزاوية \(A\hat{D}C\) والزاوية \(E\hat{D}C\).

أوجد قيس \(A\hat{D}C\) من خصائص المستطيل.
أوجد قيس \(E\hat{D}C\) من خصائص المثلث المتقايس الأضلاع.
اطرح القيمتين.

✅ الحل الكامل

1أ) حساب \(A\hat{D}E\):

بما أن \(ABCD\) مستطيل، فإن جميع زواياه قائمة. إذن \(A\hat{D}C = 90^\circ\).
بما أن \(EDC\) مثلث متقايس الأضلاع، فإن جميع زواياه تساوي \(60^\circ\). إذن \(E\hat{D}C = 60^\circ\).

الآن، يمكننا حساب الزاوية المطلوبة:

\[A\hat{D}E = A\hat{D}C - E\hat{D}C = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\]

1ب) و 2) استنتاج وحساب الزوايا الأخرى:

يتطلب حساب الزوايا \(A\hat{F}D\), \(E\hat{F}G\), و \(E\hat{G}F\) تحليلًا إضافيًا للرسم، باستخدام خصائص التوازي والتقاطع للمستقيمات لمعرفة العلاقات بين الزوايا الأخرى.

مفاهيم أساسية في الزوايا

تمرين 39

1) زاويتان متقابلتان بالرأس هما:

☐ متجاورتان
☐ متساويتان
☐ متجاورتان و متتامتان

2) مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي:

☐ \(90^\circ\)
☐ \(180^\circ\)
☐ \(360^\circ\)

3) في المثلث \(ABC\) القائم في A، الزاويتان B و C:

☐ متكاملتان
☐ متتامتان
☐ متقابلتان بالرأس

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هذه أسئلة مباشرة حول تعريفات وقواعد أساسية في الهندسة. استرجع القواعد الأساسية التي تعلمتها.

📝 الطريقة

الزوايا المتقابلة بالرأس: تذكر القاعدة التي تصف العلاقة بين قياساتهما.
مجموع زوايا المثلث: هذه إحدى أشهر القواعد في الهندسة.
المثلث القائم: ما هو مجموع زوايا المثلث؟ إذا كانت إحدى الزوايا \(90^\circ\)، فكم يتبقى للزاويتين الأخريين؟ وماذا نسمي زاويتين مجموعهما \(90^\circ\)؟

✅ الحل الكامل

1) زاويتان متقابلتان بالرأس هما: ☑ متساويتان

الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية دائمًا.

2) مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي: ☑ \(180^\circ\)

مجموع زوايا أي مثلث في الهندسة الإقليدية هو \(180^\circ\).

3) في المثلث \(ABC\) القائم في A، الزاويتان B و C: ☑ متتامتان

بما أن \(A = 90^\circ\) ومجموع الزوايا هو \(180^\circ\)، فإن \(B + C = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\). الزاويتان اللتان مجموعهما \(90^\circ\) هما متتامتان.

تمارين الرياضيات - الزوايا

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل