تمارين في الزوايا

حساب زوايا من رسوم مختلفة

تمرين 34

نعتبر الرسوم الهندسية الثلاثة التالية (بزوايا $40^\circ, 50^\circ, 25^\circ$):

احسب: $x\hat{C}y$.
احسب: $x\hat{C}y$ و $B\hat{C}x$.
احسب $C\hat{E}D$ و $D\hat{C}E$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لكل رسم، حدد العلاقات بين الزوايا: هل هي متجاورة على خط مستقيم؟ هل هي زوايا في مثلث؟ هل هي زوايا خارجية؟

📝 الطريقة

المنهجية العامة لكل رسم:

تحليل الرسم: حدد نوع الشكل الهندسي (مثلث، خطوط متقاطعة، ...).
تحديد القوانين: اختر القوانين المناسبة للحالة (مجموع زوايا المثلث $180^\circ$, الزوايا المتكاملة $180^\circ$, الزاوية الخارجية, ...).
التطبيق: قم بالحسابات اللازمة للوصول إلى قياس الزوايا المطلوبة.

✅ الحل الكامل

كل رسم يتطلب تحليلاً منفصلاً بناءً على تكوينه الهندسي المحدد.

في الرسم الأول (مع $40^\circ$): يتم حساب $x\hat{C}y$ غالبًا باستخدام خصائص الزوايا المتقابلة بالرأس أو الزوايا المتكاملة.
في الرسم الثاني (مع $50^\circ$): يتم حساب $B\hat{C}x$ كزاوية خارجية لمثلث، أو كزاوية مكملة لزاوية داخلية.
في الرسم الثالث (مع $25^\circ$): يتم حساب الزوايا من خلال تحليل العلاقات داخل المثلث CDE وتطبيق قاعدة مجموع الزوايا.

حساب زوايا متنوعة

تمرين 35

تأمل الرسوم التالية ثم احسب: $A\hat{B}C$, $E\hat{G}H$, $x\hat{U}T$ و $M\hat{Q}P$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم القاعدة الأساسية لمجموع زوايا المثلث ($180^\circ$) كأداة رئيسية في معظم هذه الحالات.

📝 الطريقة

لحساب $A\hat{B}C$:

إذا كان الشكل مثلثًا مع زاويتين معطاتين (مثلاً $60^\circ$ و $70^\circ$), فإن:

\[ A\hat{B}C = 180^\circ - (\text{الزاوية الأولى} + \text{الزاوية الثانية}) \]

لحساب الزوايا الأخرى:

طبق نفس المنهجية على كل شكل، مع الانتباه للخصائص الخاصة بكل رسم (توازي، تعامد، إلخ).

✅ الحل الكامل

حساب $A\hat{B}C$ (مثال):

بافتراض أن $B\hat{A}C=60^\circ$ و $A\hat{C}B=70^\circ$ في المثلث ABC:

\[ A\hat{B}C = 180^\circ - (60^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \]

حساب الزوايا الأخرى:

كل زاوية يتم حسابها بشكل مستقل بناءً على المعطيات الهندسية الخاصة بها في الرسم الموافق لها.

حساب زوايا في مثلث

تمرين 36

تأمل الرسم المقابل (مثلث مع زوايا $74^\circ, 58^\circ$) ثم احسب قيس كل من الزوايا التالية: $A\hat{B}C$, $L\hat{C}B$, $L\hat{H}K$, $L\hat{C}A$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ابدأ بحساب الزاوية الثالثة في المثلث الرئيسي. بعد ذلك، استخدم علاقات الزوايا الأخرى (المتجاورة، المتقابلة بالرأس) لإيجاد البقية.

📝 الطريقة

1. حساب $A\hat{B}C$:

استخدم قاعدة مجموع زوايا المثلث ABC:

\[ A\hat{B}C = 180^\circ - (B\hat{A}C + A\hat{C}B) \]

2. حساب الزوايا الأخرى:

يتطلب حساب الزوايا $L\hat{C}B$, $L\hat{H}K$, $L\hat{C}A$ تحليل موقع النقاط الإضافية L, H, K واستخدام خصائص التقاطع والتوازي إن وجدت.

✅ الحل الكامل

حساب $A\hat{B}C$:

باعتبار أن الزاويتين المعطاتين هما $B\hat{A}C = 74^\circ$ و $A\hat{C}B = 58^\circ$, فإن:

\[ A\hat{B}C = 180^\circ - (74^\circ + 58^\circ) = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ \]

حساب الزوايا الأخرى:

يعتمد حساب هذه الزوايا بشكل كامل على المعلومات الإضافية التي يوفرها الرسم حول النقاط L, H, K وعلاقتها بالمثلث الرئيسي.

مستطيل ومثلث متقايس الأضلاع

تمرين 37

تأمل الرسم المقابل حيث: ABCD مستطيل و EDC مثلث متقايس الأضلاع.

أ) احسب $A\hat{D}E$.
ب) استنتج $A\hat{F}D$ و $E\hat{F}G$.
احسب $E\hat{G}F$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استفد من خصائص الأشكال: ما هو قياس زوايا المستطيل؟ وما هو قياس زوايا المثلث المتقايس الأضلاع؟

📝 الطريقة

1أ) حساب $A\hat{D}E$:

الزاوية $A\hat{D}E$ هي الفرق بين زاوية المستطيل $A\hat{D}C$ وزاوية المثلث المتقايس الأضلاع $E\hat{D}C$.

\[ A\hat{D}E = A\hat{D}C - E\hat{D}C \]

عوّض القيم المعروفة لزوايا المستطيل والمثلث المتقايس الأضلاع.

1ب) و 2): استعمل أداتين فقط من درس الزوايا:

مجموع أقيسة زوايا مثلّث يساوي $180^\circ$ — في المثلّث $ADF$ القائم في $A$، ثمّ في المثلّث $EFG$.
كلّ زاويتين متقابلتين بالرأس متقايستان — عند النقطة $F$، وهي تقاطع المستقيمين $(AB)$ و $(DE)$.

✅ الحل الكامل

1أ) حساب $A\hat{D}E$:

بما أن ABCD مستطيل، فإن $A\hat{D}C = 90^\circ$.
بما أن EDC مثلث متقايس الأضلاع، فإن $E\hat{D}C = 60^\circ$.

\[ A\hat{D}E = A\hat{D}C - E\hat{D}C = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \]

1ب) حساب $A\hat{F}D$ و $E\hat{F}G$:

المثلّث $ADF$ قائم الزاوية في $A$، لأنّ $ABCD$ مستطيل والنقطة $F$ تنتمي إلى $[AB]$، إذن $D\hat{A}F = 90^\circ$.

وبما أنّ $F$ تنتمي إلى $[DE]$، فإنّ $A\hat{D}F = A\hat{D}E = 30^\circ$.

ومجموع أقيسة زوايا المثلّث يساوي $180^\circ$، إذن:

\[ A\hat{F}D = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \]

النقطة $F$ هي تقاطع المستقيمين $(AB)$ و $(DE)$، والزاويتان $A\hat{F}D$ و $E\hat{F}G$ متقابلتان بالرأس، وكلّ زاويتين متقابلتين بالرأس متقايستان، إذن:

\[ E\hat{F}G = A\hat{F}D = 60^\circ \]

2) حساب $E\hat{G}F$:

في المثلّث $EFG$ لدينا:

$E\hat{F}G = 60^\circ$ (السؤال السابق)
$F\hat{E}G = D\hat{E}C = 60^\circ$ لأنّها زاوية المثلّث المتقايس الأضلاع $EDC$

ومجموع أقيسة زوايا المثلّث يساوي $180^\circ$، إذن:

\[ E\hat{G}F = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \]

ملاحظة: زوايا المثلّث $EFG$ الثلاث تساوي $60^\circ$، فهو إذن مثلّث متقايس الأضلاع بدوره.

حسابات في شكل مركب

تمرين 38

نعتبر الرسم المقابل (مع زاوية $25^\circ$).

احسب $B\hat{C}F$.
أثبت أن $E\hat{F}C = 25^\circ$.
احسب $A\hat{G}E$.
كيف هما الزاويتان $B\hat{C}F$ و $B\hat{G}F$؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ابحث عن علاقات التوازي والتعامد في الشكل. استخدم خصائص الزوايا المتبادلة داخليًا والمتقابلة بالرأس.

📝 الطريقة

2) إثبات $E\hat{F}C = 25^\circ$:

غالبًا ما يعتمد هذا النوع من الإثبات على إيجاد علاقة بين $E\hat{F}C$ وزاوية أخرى معطاة. هل هي متقابلة بالرأس معها؟ أم متبادلة داخليًا معها عبر مستقيمين متوازيين؟

4) العلاقة بين $B\hat{C}F$ و $B\hat{G}F$:

بعد حساب كلتا الزاويتين، قارن بين قيمهما. هل هما متساويتان؟ هل مجموعهما $90^\circ$ أو $180^\circ$؟

✅ الحل الكامل

الحل الدقيق يعتمد على المعطيات الكاملة من الرسم الهندسي.

منهجية الحل:

حساب $B\hat{C}F$: يتم حسابه باستخدام قواعد المثلثات أو الزوايا المتكاملة.
إثبات $E\hat{F}C = 25^\circ$: غالبًا ما تكون هذه الزاوية مرتبطة بالزاوية المعطاة عبر علاقة (تقابل بالرأس، تبادل داخلي، ...).
حساب $A\hat{G}E$: يتم حسابه باستخدام نتائج الخطوات السابقة ومجموع زوايا المثلث AGF أو خصائص أخرى.
العلاقة بين $B\hat{C}F$ و $B\hat{G}F$: بعد حساب قيمهما، يتم تحديد العلاقة (تساوي، تتام، تكامل).

أساسيات الزوايا والمثلثات

تمرين 39

1) زاويتان متقابلتان بالرأس هما:
☐ متجاورتان ☐ متساويتان ☐ متجاورتان ومتتامتان

2) مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي:
☐ $90^\circ$ ☐ $180^\circ$ ☐ $360^\circ$

3) في المثلث ABC القائم في A، الزاويتان B و C:
☐ متكاملتان ☐ متتامتان ☐ متقابلتان بالرأس

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هذه أسئلة مباشرة حول تعريفات وقواعد أساسية في الهندسة. استرجع القواعد التي درستها.

📝 الطريقة

الزوايا المتقابلة بالرأس: تذكر القاعدة التي تصف العلاقة بين قياساتهما.
مجموع زوايا المثلث: هذه إحدى أشهر قواعد الهندسة.
المثلث القائم: مجموع زوايا أي مثلث هو $180^\circ$. إذا كانت إحدى الزوايا $90^\circ$, فكم يتبقى للزاويتين الأخريين؟ وماذا نسمي زاويتين مجموعهما $90^\circ$؟

✅ الحل الكامل

1) زاويتان متقابلتان بالرأس هما: ☑ متساويتان
(الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية دائمًا).

2) مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي: ☑ $180^\circ$
(مجموع زوايا أي مثلث هو $180^\circ$).

3) في المثلث ABC القائم في A، الزاويتان B و C: ☑ متتامتان
(لأن $B + C = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$).