ارسم مثلث ABC حيث: \(B\hat{A}C = 76^\circ\) ونصف المستقيم \([Ax]\) المار من A.
ما هي العلاقة بين الزاويتين \(B\hat{A}C\) و \(C\hat{A}x\)؟ وما هي الخاصية التي تربط بين منصفي زاويتين متجاورتين ومتكاملتين؟
3ب) إثبات التعامد:
الزاويتان \(B\hat{A}C\) و \(C\hat{A}x\) متجاورتان على خط مستقيم، إذن هما متكاملتان (مجموعهما \(180^\circ\)). المستقيمان \((AH)\) و \((At)\) هما منصفا هاتين الزاويتين. استخدم النظرية المتعلقة بمنصفي زاويتين متكاملتين.
3ج) إثبات أن المثلث متقايس الضلعين:
في المثلث HED، المستقيم \((AH)\) هو ارتفاع لأنه عمودي على \((ED)\). وبما أن A منتصف \([ED]\)، فإن \((AH)\) هو أيضًا... ماذا تستنتج عن المثلث HED؟
3ب) بيّن أن \((ED) \perp (AH)\):
الزاويتان \(B\hat{A}C\) و \(C\hat{A}x\) متكاملتان. النظرية تقول أن منصفي زاويتين متجاورتين ومتكاملتين يكونان متعامدين. بما أن \([AH)\) هو منصف \(B\hat{A}C\) و \([At)\) هو منصف \(C\hat{A}x\), فإن \((AH) \perp (At)\). وبما أن المستقيم \((ED)\) هو نفسه المستقيم \((At)\), فإن \((ED) \perp (AH)\).
3ج) بيّن أن المثلث HED متقايس الضلعين:
في المثلث HED، لدينا A منتصف الضلع \([ED]\). إذن \([HA]\) هو الموسط المتعلق بالضلع \([ED]\).
وقد أثبتنا أن \((AH) \perp (ED)\), إذن \([HA]\) هو أيضاً الارتفاع المتعلق بالضلع \([ED]\).
النظرية: كل مثلث يكون فيه الموسط والارتفاع الصادران من نفس الرأس منطبقين، هو مثلث متقايس الضلعين في ذلك الرأس.
إذن المثلث HED متقايس الضلعين في H, و \(HE = HD\).
ارسم مثلث ABC حيث: \(A\hat{O}C = 48^\circ\) وابن منصف الزاوية \(A\hat{O}C\).
لإثبات أن مستقيمًا هو مماس لدائرة في نقطة معينة، ما هي العلاقة التي يجب أن تثبتها بين هذا المستقيم والشعاع في نقطة التماس؟
الهدف هو إثبات أن \((By) \perp (OB)\). للقيام بذلك:
الاستراتيجية العامة للإثبات:
لإثبات أن المستقيم \((By)\) مماس للدائرة C في النقطة B، يجب إثبات أن المستقيم \((By)\) عمودي على شعاع الدائرة \([OB]\) في تلك النقطة. أي يجب أن نثبت أن \(O\hat{B}y = 90^\circ\).
عادة ما يتم ذلك عن طريق حساب الزوايا خطوة بخطوة باستخدام خصائص المثلثات المتساوية الساقين، والزوايا المركزية والمحيطية، والزوايا المتجاورة والمتكاملة، حتى نصل إلى قياس الزاوية المطلوبة.
ارسم زاوية مسطحة \(x\hat{O}y\).
الزاوية المسطحة قياسها \(180^\circ\). الزاويتان اللتان تشكلان زاوية مسطحة هما زاويتان متكاملتان. ما هي القاعدة المتعلقة بمنصفي زاويتين متكاملتين؟
1ب) العلاقة والحساب:
بما أن \(x\hat{O}y = 180^\circ\), فإن الزاويتين \(x\hat{O}z\) و \(y\hat{O}z\) متجاورتان على خط مستقيم، فهما متكاملتان. احسب \(x\hat{O}z\) بطرح \(60^\circ\) من \(180^\circ\).
3) إثبات التعامد:
ليكن \([Ou]\) منصف \(x\hat{O}z\) وليكن \([Ov]\) منصف \(y\hat{O}z\). الزاوية بينهما هي \(u\hat{O}v = u\hat{O}z + z\hat{O}v\).
\[ u\hat{O}v = \frac{1}{2}x\hat{O}z + \frac{1}{2}y\hat{O}z = \frac{1}{2}(x\hat{O}z + y\hat{O}z) \]
عوّض مجموع الزاويتين بقيمته.
1ب) العلاقة بين الزاويتين وحساب \(x\hat{O}z\):
الزاويتان \(x\hat{O}z\) و \(y\hat{O}z\) هما زاويتان متكاملتان لأنهما متجاورتان على خط مستقيم.
\[ x\hat{O}z = 180^\circ - y\hat{O}z = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \]
3) إثبات أن المنصفين متعامدان:
ليكن \([Ou]\) منصف \(x\hat{O}z\) و \([Ov]\) منصف \(y\hat{O}z\). لدينا:
\[ u\hat{O}z = \frac{1}{2}x\hat{O}z = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \]
\[ z\hat{O}v = \frac{1}{2}y\hat{O}z = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \]
الزاوية بين المنصفين هي:
\[ u\hat{O}v = u\hat{O}z + z\hat{O}v = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ \]
بما أن الزاوية بينهما \(90^\circ\), فإن المنصفين متعامدان.
ارسم زاوية \(x\hat{O}y = 70^\circ\) ومنصفها \([Oz]\).
ما هي الخاصية الأساسية لنقاط منصف الزاوية؟ إنها تتعلق بالمسافة بين النقطة وضلعي الزاوية.
ب) بيان أن \((Oy)\) مماس:
استخدم النظرية: "كل نقطة من منصف زاوية تكون متساوية البعد عن ضلعي هذه الزاوية". المسافة من A إلى \((Ox)\) هي \(AC\). استنتج المسافة من A إلى \((Oy)\) وقارنها بشعاع الدائرة.
ج) حساب \(O\hat{A}B\):
بما أن \((Oy)\) مماس للدائرة في B, فإن المثلث OAB هو مثلث قائم في B. أنت تعرف قياس الزاوية \(A\hat{O}B\) (نصف الزاوية الأصلية). استخدم مجموع زوايا المثلث لحساب \(O\hat{A}B\).
أ) الوضعية النسبية للدائرة و \((Ox)\):
بما أن الدائرة مركزها A وشعاعها \(r=AC\) و \(AC \perp Ox\), فإن المستقيم \((Ox)\) يمس الدائرة في النقطة C.
ب) بيان أن \((Oy)\) مماس للدائرة:
بما أن A تنتمي إلى منصف الزاوية \(x\hat{O}y\), فإنها متساوية البعد عن ضلعي الزاوية \((Ox)\) و \((Oy)\).
لدينا \(d(A, (Ox)) = AC = r\). إذن \(d(A, (Oy)) = r\).
بما أن المسافة من مركز الدائرة A إلى المستقيم \((Oy)\) تساوي شعاع الدائرة، فإن المستقيم \((Oy)\) يمس الدائرة.
ج) حساب \(O\hat{A}B\):
لدينا \(B\) هي نقطة التماس، إذن \((AB) \perp (Oy)\) والمثلث OAB قائم في B.
الزاوية \(A\hat{O}B = A\hat{O}y = x\hat{O}y / 2 = 70^\circ / 2 = 35^\circ\).
في المثلث القائم OAB:
\[ O\hat{A}B = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \]