تمارين في الزوايا
من الشكل التالي (مع زاوية \(39^\circ\) ومسافة 3cm):
- احسب \(A\hat{C}B\).
- استنتج \(x\hat{C}y\).
- أثبت أن الزاويتين \(C\hat{B}A\) و \(x\hat{C}y\) متتامتان.
- ليكن نقطة D من \([Az]\) حيث \(AD = 3\)cm.
- أثبت أن \((CA)\) هو المحور المتوسط لـ \([BD]\).
💡 مؤشر
لإثبات التتام، احسب كل زاوية على حدة ثم تحقق من أن مجموعهما يساوي \(90^\circ\). لإثبات أن مستقيمًا هو محور متوسط، استخدم تعريف المحور المتوسط.
📝 الطريقة
ج) إثبات التتام:
- احسب قياس \(C\hat{B}A\) من المثلث ABC (مجموع الزوايا \(180^\circ\)).
- احسب قياس \(x\hat{C}y\) (قد تكون زاوية متقابلة بالرأس أو جزءًا من زاوية أخرى).
- اجمع القياسين وتحقق هل المجموع \(90^\circ\).
ه) إثبات المحور المتوسط:
يجب إثبات أن \((CA)\) عمودي على \([BD]\) في منتصفه، أو أن أي نقطة على \((CA)\) متساوية البعد عن B و D. الطريقة الأسهل غالبًا هي إثبات أن \(CB = CD\) و \(AB = AD\).
✅ الحل الكامل
أ) و ب) و ج): الحسابات تعتمد على الرسم. يجب استخدام مجموع زوايا المثلث وخصائص الزوايا المتقابلة بالرأس أو المتكاملة للوصول إلى قياس \(C\hat{B}A\) و \(x\hat{C}y\) ثم إثبات أن مجموعهما \(90^\circ\).
ه) إثبات أن (CA) هو المحور المتوسط لـ[BD]:
لإثبات ذلك، يجب أن نبيّن أن النقطتين C و A متساويتا البعد عن طرفي القطعة [BD].
- يجب إثبات أن \(CB = CD\).
- يجب إثبات أن \(AB = AD\) (وهو معطى إذا كانت A هي نفسها Az).
إذا تحققت هاتان الخاصيتان، فإن المستقيم المار من C و A، أي \((CA)\)، هو المحور المتوسط للقطعة \([BD]\).
ارسم دائرة C مركزها O وقطرها \([AB]\) حيث \(AB = 8\).
- عين نقطة C من الدائرة حيث \(AC = 4\).
- بيّن أن المثلث OAC متقايس الأضلاع.
- حدد \(B\hat{O}C\) و \(A\hat{O}C\).
- أثبت أن: \(\hat{O}CB = C\hat{B}O = 30^\circ\).
- بيّن أن: \((AC) \perp (BC)\).
💡 مؤشر
ما هو طول نصف قطر الدائرة؟ قارن هذا الطول بأضلاع المثلث OAC. تذكر نظرية الزاوية المحيطية التي تحصر قطرًا.
📝 الطريقة
ب) إثبات أن OAC متقايس الأضلاع:
احسب أطوال أضلاعه الثلاثة: \(OA\) (شعاع)، \(OC\) (شعاع)، و \(AC\) (معطى). إذا كانت الأطوال الثلاثة متساوية، فهو متقايس الأضلاع.
د) و هـ) حساب الزوايا:
استخدم خصائص المثلث المتقايس الأضلاع (كل زواياه \(60^\circ\)) والمثلث المتقايس الضلعين (OBC) لحساب الزوايا.
و) إثبات التعامد:
لاحظ أن الزاوية \(A\hat{C}B\) هي زاوية محيطية. ما هو القوس الذي تحصره؟
✅ الحل الكامل
ب) المثلث OAC متقايس الأضلاع:
لدينا \(AB=8\), إذن شعاع الدائرة \(r=4\).
\(OA = 4\) (شعاع). \(OC = 4\) (شعاع). و \(AC = 4\) (معطى).
بما أن \(OA = OC = AC = 4\)، فإن المثلث OAC متقايس الأضلاع.
د) تحديد الزوايا المركزية:
بما أن OAC متقايس الأضلاع، فإن كل زواياه \(60^\circ\). إذن
\(A\hat{O}C = 60^\circ\).
الزاوية \(A\hat{O}B\) مستقيمة (\(180^\circ\))، إذن $B\hat{O}C =
180^\circ - A\hat{O}C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
هـ) إثبات أن \(\hat{O}CB = C\hat{B}O = 30^\circ\):
في المثلث OBC، لدينا \(OB = OC = 4\) (شعاعان)، إذن هو متساوي الساقين في O. زوايا القاعدة متساوية: $\hat{O}CB = C\hat{B}O = (180^\circ - 120^\circ)/2 = 30^\circ$.
و) إثبات أن \((AC) \perp (BC)\):
الزاوية \(A\hat{C}B\) هي زاوية محيطية تحصر القطر \([AB]\). أي زاوية محيطية تحصر قطراً هي زاوية قائمة. إذن \(A\hat{C}B = 90^\circ\), وبالتالي \((AC) \perp (BC)\).
تأمل الرسم التالي (مثلث بزاوية \(60^\circ\)):
- احسب قياسات الزوايا \(A\hat{C}x\), \(A\hat{B}C\) و \(A\hat{C}B\).
- ليكن \([Cz]\) منصف الزاوية \(A\hat{C}x\).
- ابن الدائرة التي مركزها B وشعاعها 2سم. ما هي الوضعية النسبية للنقطة I والمستقيم \((Ay)\)؟
💡 مؤشر
تذكر نظرية الزاوية الخارجية للمثلث. لتحديد وضعية مستقيم ودائرة، قارن المسافة من مركز الدائرة إلى المستقيم بشعاع الدائرة.
📝 الطريقة
1) حساب الزوايا:
الزاوية \(A\hat{C}x\) هي زاوية خارجية للمثلث ABC. قياسها يساوي مجموع الزاويتين الداخليتين غير المجاورتين لها. استخدم هذه القاعدة ثم مجموع زوايا المثلث لحساب البقية.
3) الوضعية النسبية:
لتحديد وضعية المستقيم \((Ay)\) بالنسبة للدائرة التي مركزها B، يجب حساب المسافة من B إلى \((Ay)\). ثم قارن هذه المسافة بالشعاع (2سم):
- إذا كانت المسافة > الشعاع، المستقيم خارج الدائرة.
- إذا كانت المسافة = الشعاع، المستقيم مماس للدائرة.
- إذا كانت المسافة < الشعاع، المستقيم يقطع الدائرة في نقطتين.
✅ الحل الكامل
1) حساب الزوايا:
تعتمد الحسابات الدقيقة على المعطيات الكاملة من الرسم. على سبيل المثال، إذا كان \(B\hat{A}C=60^\circ\) والمثلث قائم في B، فإن \(A\hat{C}B = 30^\circ\). والزاوية الخارجية $A\hat{C}x = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.
3) الدائرة والوضعية النسبية:
يجب حساب \(d(B, (Ay))\), أي البعد العمودي من B إلى المستقيم (Ay). ثم نقارنه بالشعاع \(r=2\).
- ارسم مستقيمين \((xy)\) و \((zt)\) متقاطعين في O حيث: $x\hat{O}z = 24^\circ$.
- ارسم نصف المستقيم \([Ou]\) حيث تكون الزاويتان \(x\hat{O}u\) و \(z\hat{O}x\) متجاورتين و \(x\hat{O}u = 66^\circ\).
- أثبت أن الزاويتين \(x\hat{O}u\) و \(y\hat{O}t\) متتامتان.
- احسب \(y\hat{O}u\) و \(z\hat{O}y\).
💡 مؤشر
ما هي العلاقة بين الزوايا المتقابلة بالرأس؟ وما هي العلاقة بين الزوايا المتجاورة على خط مستقيم؟
📝 الطريقة
3) إثبات التتام:
أولاً، أوجد قياس \(y\hat{O}t\). لاحظ أنها متقابلة بالرأس مع زاوية أخرى معلومة. ثم اجمع قياسها مع قياس \(x\hat{O}u\) المعطى.
4) حساب الزوايا الأخرى:
استخدم خاصية الزوايا المتكاملة (المتجاورة على خط مستقيم) لحساب \(y\hat{O}u\) و \(z\hat{O}y\).
✅ الحل الكامل
3) إثبات أن \(x\hat{O}u\) و \(y\hat{O}t\) متتامتان:
لدينا \(x\hat{O}z\) و \(y\hat{O}t\) زاويتان متقابلتان بالرأس، إذن هما متساويتان. \(y\hat{O}t = x\hat{O}z = 24^\circ\).
الآن نجمع الزاويتين:
\[ x\hat{O}u + y\hat{O}t = 66^\circ + 24^\circ = 90^\circ \]
بما أن مجموعهما \(90^\circ\)، فهما متتامتان.
4) حساب \(y\hat{O}u\) و \(z\hat{O}y\):
الزاويتان \(x\hat{O}u\) و \(y\hat{O}u\) متجاورتان على المستقيم \((xy)\)، إذن هما متكاملتان.
\[ y\hat{O}u = 180^\circ - x\hat{O}u = 180^\circ - 66^\circ = 114^\circ \]
الزاويتان \(x\hat{O}z\) و \(z\hat{O}y\) متجاورتان على المستقيم \((xy)\)، إذن هما متكاملتان.
\[ z\hat{O}y = 180^\circ - x\hat{O}z = 180^\circ - 24^\circ = 156^\circ \]