تمارين في الزوايا
نعتبر قطعة مستقيم \([AB]\) حيث \(AB = 6\).
- ارسم الدائرتين \(C(A,3)\) و \(C(B,3)\) وحدد وضعيتهما النسبية.
- ليكن النقطة O منتصف \([AB]\). ماذا تمثل أيضاً النقطة O؟
- ارسم المستقيم \(\Delta\) المار من A والعمودي على \([AB]\).
- احسب: \(AOM\) و \(A\hat{O}M\).
- أثبت أن: \(M\hat{O}N = 90^\circ\).
- حدد: \(B\hat{O}P\) و \(OPB\).
- بيّن أن: \((BP) \parallel (MN)\).
- ارسم المستقيم المماس للدائرة C في النقطة P.
💡 مؤشر
لتحديد وضعية الدائرتين، قارن المسافة بين مركزيهما بمجموع شعاعيهما.
📝 الطريقة
أ) وضعية الدائرتين:
- المسافة بين المركزين A و B هي \(AB = 6\).
- شعاع الدائرة الأولى هو 3، وشعاع الثانية هو 3.
- مجموع الشعاعين هو \(3 + 3 = 6\).
- عندما تكون المسافة بين المركزين تساوي مجموع الشعاعين، ماذا نستنتج؟
ب) النقطة O:
بما أن الدائرتين تلامسان بعضهما، والنقطة O هي منتصف المسافة بين المركزين، فإن O هي...
✅ الحل الكامل
أ) وضعية الدائرتين:
المسافة بين المركزين (6) تساوي مجموع نصفي القطر (3+3=6)، إذن الدائرتان متماستان خارجياً.
ب) النقطة O:
O هي منتصف \([AB]\) وهي أيضاً نقطة تماس الدائرتين.
ج) إلى ط):
تتطلب هذه الأسئلة رسماً دقيقاً وتطبيقاً لخصائص الدوائر، المماسات، التوازي، والتعامد لحل المسائل خطوة بخطوة.
نعتبر الرسم التالي (مثلث بزاوية \(20^\circ\) و \(77^\circ\)).
- أكمل الجملة: الزاويتان \(A\hat{D}B\) و \(B\hat{D}C\) متتامتان، أي: \(A\hat{D}B + B\hat{D}C = 90^\circ\).
- أ) احسب قيس الزاوية \(A\hat{B}D\).
ب) ماذا يمثل \([BD]\) بالنسبة للزاوية \(A\hat{B}C\)؟ - أكمل جملة عن الزوايا المتكاملة.
- أ) ابن \([Du]\) منصف الزاوية \(B\hat{D}C\) و \([Dv]\) منصف الزاوية
\(A\hat{D}B\).
ب) أثبت أن \((Du) \perp (Dv)\).
💡 مؤشر
ما هو مجموع زوايا المثلث؟ وما هي الزاوية التي يشكلها منصفا زاويتين متجاورتين ومتكاملتين (أو متتامتين)؟
📝 الطريقة
2أ) حساب \(A\hat{B}D\):
استخدم قاعدة أن مجموع زوايا المثلث ABD يساوي \(180^\circ\).
\[ A\hat{B}D = 180^\circ - B\hat{A}D - A\hat{D}B \]
4ب) إثبات التعامد:
الزاوية بين المنصفين هي \(v\hat{D}u = v\hat{D}B + B\hat{D}u\). عبّر عن كل زاوية بدلالة الزوايا الأصلية.
\[ v\hat{D}u = \frac{1}{2} A\hat{D}B + \frac{1}{2} B\hat{D}C = \frac{1}{2} (A\hat{D}B + B\hat{D}C) \]
بما أن الزاويتين متتامتين، فما هو مجموعهما؟
✅ الحل الكامل
2أ) حساب \(A\hat{B}D\):
\[ A\hat{B}D = 180^\circ - (20^\circ + 77^\circ) = 180^\circ - 97^\circ = 83^\circ \]
2ب) دور \([BD]\):
ليكون \([BD]\) منصفاً، يجب أن تكون \(A\hat{B}D = D\hat{B}C\). يجب حساب \(D\hat{B}C\) للمقارنة.
4ب) إثبات التعامد:
الحساب الصحيح هو:
\[ v\hat{D}u = \frac{1}{2} (A\hat{D}B + B\hat{D}C) = \frac{1}{2} (90^\circ) = 45^\circ \]لذلك، \((Du)\) و \((Dv)\) ليسا متعامدين بل يشكلان زاوية \(45^\circ\).
ارسم دائرة C مركزها O وشعاعها 3. ارسم قطرها \([AB]\).
- ارسم \([Ox]\) منصف الزاوية المستقيمة \(A\hat{O}B\) حيث يقطع الدائرة في C.
- بيّن أن: \(O\hat{A}C = A\hat{C}O = 45^\circ\).
- برهن على أن: \(A\hat{C}B = 90^\circ\).
- استنتج أن: \((AC) \parallel (OD)\) (باعتبار D نقطة من سؤال سابق).
💡 مؤشر
ما نوع المثلث OAC إذا كان ضلعان منه هما شعاعان في الدائرة؟ ما هي خاصية الزاوية المحيطية التي تحصر قطر الدائرة؟
📝 الطريقة
ب) تبيين الزوايا:
- منصف الزاوية المستقيمة \(A\hat{O}B=180^\circ\) يعطي $A\hat{O}C = 90^\circ$.
- في المثلث OAC، لدينا \(OA = OC\) (شعاعان). إذن المثلث متساوي الساقين.
- استخدم مجموع زوايا المثلث لحساب الزاويتين المتبقيتين.
ج) برهان التعامد:
الزاوية \(A\hat{C}B\) هي زاوية محيطية تحصر القطر \([AB]\). استخدم النظرية المتعلقة بذلك.
✅ الحل الكامل
ب) تبيين أن \(O\hat{A}C = A\hat{C}O = 45^\circ\):
بما أن \([Ox]\) منصف الزاوية المستقيمة \(A\hat{O}B=180^\circ\), فإن
\(A\hat{O}C = 90^\circ\).
في المثلث OAC، لدينا \(OA = OC = 3\) (شعاعان)، إذن المثلث OAC متساوي
الساقين في O.
إذن $O\hat{A}C = A\hat{C}O = (180^\circ - 90^\circ) / 2 =
45^\circ$.
ج) برهان أن \(A\hat{C}B = 90^\circ\):
الزاوية \(A\hat{C}B\) هي زاوية محيطية تحصر القطر \([AB]\).
النظرية: كل زاوية محيطية تحصر قطراً في دائرة هي
زاوية قائمة.
إذن \(A\hat{C}B = 90^\circ\).
نعتبر دائرة C مركزها O وشعاعها r و \([TE]\) قطراً لها.
- ابن المماس \(\Delta\) لـ C في النقطة T.
- لتكن B نقطة من \(\Delta\) حيث \(B\hat{O}T = 60^\circ\).
- احسب \(O\hat{T}B\) و \(O\hat{B}T\).
- ابن \([Tu]\) منصف الزاوية \(O\hat{T}B\).
- أ) ابن المستقيم \(\Delta'\) الموازي لـ \([ET]\).
ب) ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين \(\Delta'\) و \((BT)\)؟
💡 مؤشر
ما هي العلاقة الأساسية بين مماس الدائرة والشعاع عند نقطة التماس؟ استخدم هذه الخاصية لتحديد نوع المثلث OTB.
📝 الطريقة
3) حساب الزوايا:
- المماس \(\Delta\) يكون عمودياً على الشعاع \([OT]\) في نقطة التماس T. إذن \(O\hat{T}B = 90^\circ\).
- أصبح لديك مثلث OTB قائم في T، وتعرف قياس الزاوية $B\hat{O}T = 60^\circ$.
- استخدم مجموع زوايا المثلث لحساب الزاوية الثالثة \(O\hat{B}T\).
✅ الحل الكامل
1) المماس: المماس في T يكون عمودياً على الشعاع \([OT]\).
3) حساب الزوايا:
- بما أن \(\Delta\) مماس للدائرة في T، فإن \((OT) \perp \Delta\). إذن \(O\hat{T}B = 90^\circ\).
- في المثلث OTB القائم في T، مجموع الزوايا هو \(180^\circ\).
- $O\hat{B}T = 180^\circ - (O\hat{T}B + B\hat{O}T) = 180^\circ -
(90^\circ + 60^\circ) = 30^\circ$.
إذن \(O\hat{B}T = 30^\circ\).
4) منصف الزاوية:
بما أن \(O\hat{T}B = 90^\circ\), فإن منصفها \([Tu]\) يقسمها إلى زاويتين قياس كل منهما \(45^\circ\).