تمارين في الزوايا
من الشكل التالي، بيّن أن المثلث HMK متقايس الأضلاع.
💡 مؤشر
كيف يمكن إثبات أن مثلثًا متقايس الأضلاع؟ فكر في خصائص أضلاعه وزواياه.
📝 الطريقة
هناك طريقتان رئيسيتان لإثبات أن المثلث HMK متقايس الأضلاع:
- الطريقة 1 (عبر الأضلاع): أثبت أن الأضلاع الثلاثة متساوية في الطول: \(HM = MK = KH\).
- الطريقة 2 (عبر الزوايا): أثبت أن الزوايا الثلاث متساوية، وبالتالي كل منها يساوي \(60^\circ\).
اختر الطريقة الأنسب بناءً على المعطيات المتوفرة في الرسم.
✅ الحل الكامل
خطوات الإثبات:
- تحليل المعطيات: استخرج كل المعلومات الهندسية من الرسم (زوايا، توازي، تساوي أضلاع).
- تطبيق النظريات: استخدم نظريات التطابق أو خصائص الأشكال الهندسية الأخرى (مثل المستطيل، الدائرة) لربط العناصر ببعضها.
- الاستنتاج: بناءً على الحسابات، استنتج إما أن \(HM = MK = KH\) أو أن \(\hat{H} = \hat{M} = \hat{K} = 60^\circ\)، وهو ما يثبت أن المثلث HMK متقايس الأضلاع.
اعتبر الشكل التالي (مثلث بزوايا \(48^\circ, 75^\circ, ...\))، بيّن
أن \([HF]\) هو منصف الزاوية \(E\hat{H}G\).
💡 مؤشر
ماذا يعني أن يكون \([HF]\) منصف الزاوية \(E\hat{H}G\)؟ ما هي العلاقة التي يجب أن تثبتها بين الزاويتين \(E\hat{H}F\) و \(F\hat{H}G\)؟
📝 الطريقة
الهدف هو إثبات أن \(E\hat{H}F = F\hat{H}G\). للقيام بذلك، اتبع الخطوات التالية:
- احسب قياس الزاوية الكاملة \(E\hat{H}G\) باستخدام قاعدة مجموع زوايا المثلث (\(180^\circ\)).
- استخدم المعطيات الأخرى في الرسم لحساب إحدى الزاويتين \(E\hat{H}F\) أو \(F\hat{H}G\).
- تحقق مما إذا كانت الزاويتان متساويتين.
✅ الحل الكامل
خطوات الإثبات:
1. حساب الزاوية \(E\hat{H}G\):
باعتبار المثلث EHG، لدينا:
\[ E\hat{H}G = 180^\circ - (H\hat{E}G + E\hat{G}H) = 180^\circ - (75^\circ + 48^\circ) = 180^\circ - 123^\circ = 57^\circ \]
2. إثبات أن \([HF]\) منصف:
نستعمل تعريف منصّف الزاوية: منصّف الزاوية هو مجموعة النقاط المتساوية البعد عن ضلعيها. فإذا بيّنّا أنّ النقطة \(F\) تبعد نفس البعد عن الضلعين \([HE)\) و \([HG)\)، فإنّ \([HF)\) هو منصّف الزاوية \(E\hat{H}G\)، ومنه:
\[ E\hat{H}F = F\hat{H}G = \dfrac{57^\circ}{2} = 28{,}5^\circ \]
اعتمادًا على الشكل، بيّن أن \([HF]\) هو منصف الزاوية \(E\hat{H}G\). (نفس محتوى التمرين 16)
💡 مؤشر
إلى جانب إثبات تساوي الزاويتين، هل هناك خاصيّة أخرى تُميّز منصّف الزاوية؟ فكّر في تساوي البعدين عن ضلعي الزاوية.
📝 الطريقة
هناك طريقتان لإثبات أن \([HF)\) منصف:
- تساوي الزاويتين: بيّن مباشرة أنّ \(E\hat{H}F = F\hat{H}G\).
- خاصية تساوي البعدين: بيّن أنّ النقطة \(F\) متساوية البعد عن ضلعي الزاوية \([HE)\) و \([HG)\)، أي أنّ المسقطين العموديين لـ \(F\) على الضلعين يعطيان نفس البعد. وهذا هو بالضبط تعريف منصّف الزاوية.
✅ الحل الكامل
بما أن هذا التمرين مماثل للتمرين 16، فإن الحل يعتمد على نفس المبدأ: خاصيّة تساوي البعدين.
نسمّي \(P\) المسقط العمودي لـ \(F\) على \([HE)\)، و \(Q\) المسقط العمودي لـ \(F\) على \([HG)\). فيكون \(FP\) هو بعد \(F\) عن \([HE)\)، و \(FQ\) هو بعد \(F\) عن \([HG)\).
إذا بيّن الرسم أنّ \(FP = FQ\)، فإنّ النقطة \(F\) متساوية البعد عن ضلعي الزاوية \(E\hat{H}G\).
وبما أنّ منصّف الزاوية هو مجموعة النقاط المتساوية البعد عن ضلعيها، فإنّ \(F\) تنتمي إلى المنصّف، ومنه \([HF)\) هو منصّف الزاوية \(E\hat{H}G\) و \(E\hat{H}F = F\hat{H}G\).
في أي شكل من الأشكال التالية، يمثل البعد \(MH\) بعد النقطة M عن
المستقيم \(\Delta\)؟
💡 مؤشر
البعد بين نقطة ومستقيم هو دائمًا أقصر مسافة ممكنة. ما هي السمة الهندسية التي تميز هذه المسافة الأقصر؟
📝 الطريقة
تعريف بعد نقطة عن مستقيم له شرطان أساسيان:
- هو طول القطعة المستقيمة التي تصل بين النقطة والمستقيم.
- هذه القطعة المستقيمة يجب أن تكون عمودية على المستقيم.
ابحث عن الشكل الذي يحقق هذين الشرطين، حيث يكون المستقيم \((MH)\) عموديًا على المستقيم \(\Delta\).
✅ الحل الكامل
الشكل الصحيح هو الذي يحقق ما يلي:
- القطعة المستقيمة \([MH]\) تصل بين النقطة M والمستقيم \(\Delta\).
- النقطة H تنتمي إلى المستقيم \(\Delta\).
- الزاوية بين المستقيم \((MH)\) والمستقيم \(\Delta\) هي زاوية قائمة (\(90^\circ\)).
أي شكل آخر يظهر فيه الخط مائلاً لا يمثل البعد الهندسي الصحيح.