تمارين في الزوايا
أذكر في كل حالة من الحالات التالية إن كانت الزاويتان متجاورتين أم
لا، مع ذكر السبب.
💡 مؤشر
لتكون زاويتان متجاورتين، يجب أن تتحقق ثلاثة شروط أساسية. هل يمكنك تذكرها؟
📝 الطريقة
لكي تكون زاويتان متجاورتين، يجب أن يتوفر فيهما الشروط الثلاثة مجتمعة:
- رأس مشترك: يجب أن تشتركا في نفس نقطة الرأس.
- ضلع مشترك: يجب أن يفصل بينهما ضلع واحد مشترك.
- لا تتداخلان: يجب أن تكونا من جهتين مختلفتين من الضلع المشترك وألا تتداخلا.
لكل شكل، تحقق من هذه الشروط الثلاثة. إذا لم يتحقق شرط واحد على الأقل، فهما غير متجاورتين.
✅ الحل الكامل
عند تحليل كل شكل:
- يجب فحص وجود رأس مشترك.
- يجب فحص وجود ضلع مشترك.
- يجب التأكد من عدم تداخل المنطقتين الداخليتين للزاويتين.
إذا تحققت الشروط الثلاثة، تكون الزاويتان متجاورتين.
من الرسم التالي الذي يحتوي على مثلث بزوايا $60^\circ, 30^\circ,
90^\circ$ أكمل الفراغات:
- الزاويتان .......... و .......... متتامتان.
- الزاويتان .......... و .......... متكاملتان.
- الزاويتان .......... و .......... متجاورتان ومتتامتان.
- الزاويتان .......... و .......... متتامتان وغير متجاورتين.
💡 مؤشر
تذكر أن الزاويتين المتتامتين مجموعهما \(90^\circ\) والمتكاملتين مجموعهما \(180^\circ\). ابحث عن أزواج من الزوايا في الرسم تحقق هذه الشروط.
📝 الطريقة
- للتتام: ابحث عن زاويتين مجموعهما \(90^\circ\). في المثلث القائم، ما هي العلاقة بين الزاويتين الحادتين؟
- للتكامل: ابحث عن زاويتين مجموعهما \(180^\circ\). غالبًا ما تكونان على خط مستقيم.
- للتجاور: تحقق من شروط التجاور (رأس وضلع مشتركان).
✅ الحل الكامل
بناءً على مثلث قائم الزاوية بزوايا \(30^\circ\) و \(60^\circ\):
- متتامتان: الزاويتان \(30^\circ\) و \(60^\circ\) متتامتان لأن مجموعهما \(90^\circ\).
- متكاملتان: الزاوية القائمة \(90^\circ\) والزاوية المستقيمة المجاورة لها (إن وجدت) تكونان متكاملتين. أو الزاوية \(60^\circ\) والزاوية \(120^\circ\) (إن وجدت).
- متجاورتان ومتتامتان: إذا كان هناك خط يقسم الزاوية القائمة إلى زاويتين.
- متتامتان وغير متجاورتين: الزاويتان \(30^\circ\) و \(60^\circ\) في المثلث هما مثال جيد.
من الشكل التالي (زوايا بقياسات \(74^\circ\) و \(32^\circ\)):
- ابن \([Ot]\) منصف الزاوية \(x\hat{O}y\).
- أثبت أن \((Ot) \perp (Oz)\).
💡 مؤشر
ماذا يفعل منصف الزاوية؟ وماذا يعني أن يكون مستقيمان متعامدين؟ (ما هو قياس الزاوية بينهما؟)
📝 الطريقة
أ) بناء المنصف:
بما أن \([Ot]\) هو منصف الزاوية \(x\hat{O}y\) التي قياسها \(74^\circ\)، فإنه يقسمها إلى زاويتين متساويتين:
\[ x\hat{O}t = t\hat{O}y = \frac{74^\circ}{2} \]
ب) إثبات التعامد:
لإثبات أن \((Ot) \perp (Oz)\)، يجب أن نثبت أن الزاوية $z\hat{O}t = 90^\circ$.
حاول حساب \(z\hat{O}t\) بجمع أو طرح الزوايا المعلومة حسب وضعيتها في الرسم.
✅ الحل الكامل
أ) بناء منصف الزاوية \([Ot]\):
قياس كل من الزاويتين الناتجتين عن المنصف هو:
\[ x\hat{O}t = t\hat{O}y = \frac{74^\circ}{2} = 37^\circ \]
ب) إثبات أن \((Ot) \perp (Oz)\):
حسب المعطيات الأصلية، فإن \(z\hat{O}t\) يمكن حسابها بجمع \(t\hat{O}y\) و \(z\hat{O}y\).
\[ z\hat{O}t = t\hat{O}y + z\hat{O}y = 37^\circ + 32^\circ = 69^\circ \]
من الشكل الهندسي التالي، احسب قيس الزاوية \(B\hat{A}I\).
💡 مؤشر
ابدأ بتحديد جميع الزوايا التي يمكنك حسابها بسهولة. استخدم خاصية أن مجموع زوايا المثلث هو \(180^\circ\).
📝 الطريقة
لحل هذا النوع من المسائل، اتبع الخطوات التالية:
- حدد المعطيات: اكتب جميع قياسات الزوايا والأضلاع المعلومة من الرسم.
- استخدم خصائص الزوايا: ابحث عن زوايا متتامة، متكاملة، أو متقابلة بالرأس.
- طبّق خصائص المثلثات: استخدم قانون مجموع زوايا المثلث (\(180^\circ\))، وخصائص المثلثات الخاصة (متقايس الضلعين، متقايس الأضلاع).
- اعمل بشكل تدريجي: احسب قياسات الزوايا خطوة بخطوة حتى تصل إلى الزاوية المطلوبة \(B\hat{A}I\).
✅ الحل الكامل
الحساب:
بما أن الشكل الهندسي الدقيق غير متوفر، لا يمكن إجراء الحساب النهائي. ومع ذلك، فإن الطريقة المذكورة هي المنهجية الصحيحة للوصول إلى الحل.
على سبيل المثال، إذا كان المثلث ABC قائمًا في B، وكانت لديك زاوية أخرى معلومة، يمكنك بسهولة إيجاد الزاوية الثالثة. ثم، إذا كانت I نقطة على أحد الأضلاع، يمكنك استخدام المثلث الجديد ABI لإيجاد \(B\hat{A}I\).