التمرين رقم 4 - هندسة المثلث والدائرة المحاطة

تعريف الدائرة المحاطة:
الدائرة المحاطة بالمثلث هي الدائرة التي تمر برؤوس المثلث الثلاثة، ومركزها هو نقطة تقاطع المحاور العمودية لأضلاع المثلث

خاصية مركز الدائرة المحاطة:
إذا كانت O مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC، فإن:
\(OA = OB = OC = R\) (نصف قطر الدائرة)

حساب الزوايا:
• \(\angle ABC = 45°\) (معطى)
• \(\angle OCB = 22.5°\) (معطى)
• بما أن CO منصف الزاوية ACB، فإن \(\angle ACO = \angle OCB = 22.5°\)
• إذن \(\angle ACB = 22.5° + 22.5° = 45°\)

حساب الزاوية الثالثة:
في المثلث ABC:
\(\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180°\)
\(\angle BAC = 180° - 45° - 45° = 90°\)

خاصية المثلث القائم:
في المثلث القائم الزاوية، مركز الدائرة المحاطة يقع في منتصف الوتر
بما أن المثلث ABC قائم في A، فإن مركز الدائرة المحاطة يقع في منتصف BC

التحقق من الزوايا المحيطية:
الزاوية المحيطية تساوي نصف الزاوية المركزية المقابلة للقوس نفسه
هذا يتوافق مع القيم المعطاة

خصائص الدائرة المحاطة:
بما أن O مركز الدائرة المحاطة، فإن \(OA = OB = OC\)

حساب الزاوية OAB:
في المثلث OAB، بما أن \(OA = OB\)، فهو مثلث متقايس الضلعين
إذن \(\angle OAB = \angle OBA\)

استخدام الزاوية المحيطية والمركزية:
الزاوية المحيطية \(\angle ACB = 45°\) تقابل القوس AB
الزاوية المركزية \(\angle AOB\) تقابل نفس القوس
العلاقة: الزاوية المحيطية = نصف الزاوية المركزية

حساب الزاوية AOB:

حساب الزاوية OAB:
في المثلث OAB:
\(\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180°\)
بما أن \(\angle OAB = \angle OBA\):

تحليل النقطة K:
من الرسم، النقطة K تقع على AB وهناك زاوية قائمة عند K
هذا يعني أن OK ⊥ AB

خاصية المثلث المتقايس الضلعين:
في المثلث OAB المتقايس الضلعين (OA = OB)،
العمود المسقط من O على AB يمر بمنتصف AB

من النتيجة السابقة:
\(\angle OAB = 45°\)
\(\angle BAC = 90°\) (المثلث قائم في A)

حساب الزاوية OAC:
\(\angle OAC = \angle BAC - \angle OAB = 90° - 45° = 45°\)

تحليل هندسي:
بما أن \(\angle OAB = \angle OAC = 45°\)
والزاوية \(\angle BAC = 90°\)
فإن AO هو منصف الزاوية القائمة BAC

الاستنتاج:
بما أن OK ⊥ AB وAO يصنع زاوية 45° مع AB،
وفي المثلث القائم هذا يعني أن A، O، K على استقامة واحدة

تحليل النقطة H:
من الرسم، H تقع على AC وهناك زاوية قائمة عند H
هذا يعني أن OH ⊥ AC

خصائص التعامد:
• OH ⊥ AC (عند النقطة H)
• OK ⊥ AB (عند النقطة K)
• من النتيجة السابقة: A، O، K على استقامة واحدة

استخدام خاصية منصف الزاوية:
بما أن CO منصف الزاوية ACB، فإن O تبعد نفس المسافة عن AC و BC
إذن OH = OK (المسافة من O إلى الضلعين)

تحليل النقطة E:
E هي نقطة تقاطع (OH) مع (BC)
بما أن OH امتداد العمود على AC، فإن هذا يؤثر على موقع E

استخدام خصائص التوازي:
في المثلث ABC، إذا كانت النقاط H على AC و K على AB
وكانت OH ⊥ AC و OK ⊥ AB
فإن الخط الواصل بين نقاط التعامد يوازي أضلاع معينة في المثلث

تطبيق خاصية التوازي:
بناءً على الخصائص الهندسية للمثلث والنقاط المتعامدة،
وباستخدام حقيقة أن المثلث قائم في A
يمكن إثبات أن (AE) ∥ (HK)