تمرين عدد 4 - الهندسة والدائرة المدرجة

في الرسم التالي، حيث وحدة قيس الطول هي الضنتيمتر لدينا:
• مثلث قائم في A حيث \(\angle ACB = 30°\)
• ξ دائرة مركزها O وماسة لـ (BC) و (AB) على التوالي في E و F

1) أحسب \(\angle ABC\)

حل السؤال الأول

معطيات المثلث:
• المثلث ABC قائم في A
• \(\angle ACB = 30°\)

استخدام مجموع زوايا المثلث:
في أي مثلث: مجموع الزوايا = 180°
\(\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180°\)

التعويض:

90° + ∠ABC + 30° = 180°
∠ABC = 180° - 90° - 30°
∠ABC = 60°

النتيجة: \(\angle ABC = 60°\)

2) أ) بين أن [BO) هو منصف الزاوية \(\angle ABC\)

حل السؤال 2أ

خصائص الدائرة المدرجة:
الدائرة ξ مركزها O وماسة لضلعي المثلث AB و BC في النقطتين F و E على التوالي

خاصية المماس:
• OF ⊥ AB (عمودي على المماس في نقطة التماس)
• OE ⊥ BC (عمودي على المماس في نقطة التماس)
• OF = OE = نصف قطر الدائرة

استخدام خاصية منصف الزاوية:
النقطة O تبعد نفس المسافة عن الضلعين AB و BC
إذن النقطة O تقع على منصف الزاوية \(\angle ABC\)
لذلك [BO) هو منصف الزاوية \(\angle ABC\)

النتيجة: [BO) منصف الزاوية \(\angle ABC\) بخاصية الدائرة المدرجة

ب) (BO) يقطع (AC) في نقطة D. أحسب \(\angle CBD\)

حل السؤال 2ب

من النتائج السابقة:
• \(\angle ABC = 60°\)
• [BO) منصف الزاوية \(\angle ABC\)

تعريف منصف الزاوية:
منصف الزاوية يقسم الزاوية إلى زاويتين متساويتين
إذن \(\angle ABD = \angle DBC\)

الحساب:

∠ABD + ∠DBC = ∠ABC
2 × ∠DBC = 60°
∠DBC = 30°

ملاحظة:
\(\angle CBD = \angle DBC = 30°\)
(نفس الزاوية بتسميات مختلفة)

النتيجة: \(\angle CBD = 30°\)

ج) استنتج أن \(\angle BDC = 120°\)

حل السؤال 2ج

في المثلث BDC:
• \(\angle DBC = 30°\) (من النتيجة السابقة)
• \(\angle BCD = \angle ACB = 30°\) (نفس الزاوية)

استخدام مجموع زوايا المثلث:
في المثلث BDC:
\(\angle DBC + \angle BCD + \angle BDC = 180°\)

التعويض:

30° + 30° + ∠BDC = 180°
60° + ∠BDC = 180°
∠BDC = 180° - 60°
∠BDC = 120°

النتيجة: \(\angle BDC = 120°\)

3) أ) ابن المستقيم الذي يقطع (BC) في نقطة G والذي منصف الزاوية \(\angle BDC\)
ب) بين أن \(\angle DGB = 90°\)

حل السؤال 3

أ) بناء منصف الزاوية:
منصف الزاوية \(\angle BDC\) هو المستقيم الذي يمر بـ D ويقسم الزاوية إلى قسمين متساويين
ليكن G نقطة تقاطع هذا المنصف مع الضلع BC

ب) حساب الزوايا في المثلث DGB:
• \(\angle BDG = \frac{1}{2} \angle BDC = \frac{120°}{2} = 60°\)
• \(\angle DBG = \angle DBC = 30°\)

حساب الزاوية الثالثة:

في المثلث DGB:
∠BDG + ∠DBG + ∠DGB = 180°
60° + 30° + ∠DGB = 180°
∠DGB = 180° - 90° = 90°

النتيجة: \(\angle DGB = 90°\) إذن DG ⊥ BC

ج) استنتج أن \((DG) \parallel (OE)\)

حل السؤال 3ج

من النتائج السابقة:
• DG ⊥ BC (لأن \(\angle DGB = 90°\))
• OE ⊥ BC (لأن OE عمودي على المماس BC في نقطة التماس E)

خاصية التوازي:
إذا كان مستقيمان عموديان على مستقيم ثالث، فإنهما متوازيان

التطبيق:
بما أن DG ⊥ BC و OE ⊥ BC
إذن (DG) ∥ (OE)

النتيجة: \((DG) \parallel (OE)\)

4) أ) ارسم الدائرة ξ' التي مركزها D والماسة من A
ب) بين أن ξ' و (BC) متماسان في G

حل السؤال الرابع

أ) بناء الدائرة ξ':
الدائرة ξ' مركزها D وتمر من النقطة A
إذن نصف قطرها = DA

ب) إثبات التماس في G:
لإثبات أن الدائرة ξ' تماس BC في G، نحتاج إثبات:
• المسافة من المركز D إلى المستقيم BC تساوي نصف القطر
• هذه المسافة محققة عند النقطة G

من النتائج السابقة:
• DG ⊥ BC (أي أن DG هو أقصر مسافة من D إلى BC)
• DG هو منصف الزاوية \(\angle BDC\)

خاصية هندسية:
في المثلث المتقايس الضلعين (حيث BD = DC بخاصية منصف الزاوية)،
المسافة DG تساوي نصف قطر الدائرة المارة من رؤوس المثلث

النتيجة: الدائرة ξ' مماسة للمستقيم BC في النقطة G