التمرين رقم 25

ليكن \((C)\) دائرة مركزها \(O\) وشعاعها \(3\) سم و \([TE]\) قطراً لها.
O T E Δ
(1) ابن الماس \(\Delta\) لـ \((C)\) في النقطة \(T\).

التصحيح - السؤال (1)

تعريف الماس:
• الماس لدائرة في نقطة هو المستقيم العمودي على نصف القطر المار بتلك النقطة
• الماس يلمس الدائرة في نقطة واحدة فقط
خطوات الإنشاء:
1. ارسم الدائرة \((C)\) بمركز \(O\) ونصف قطر \(3\) سم
2. ارسم القطر \([TE]\) بطول \(6\) سم
3. في النقطة \(T\)، ارسم العمود على نصف القطر \([OT]\)
4. هذا العمود هو الماس \(\Delta\) للدائرة في النقطة \(T\)
خاصية مهمة:
• \((OT) \perp \Delta\) في النقطة \(T\)
• الماس \(\Delta\) لا يتقاطع مع الدائرة إلا في النقطة \(T\) فقط
(2) لتكن \(B\) نقطة من \(\Delta\) حيث \(\angle BOT = 60°\).

التصحيح - السؤال (2)

تحديد موقع النقطة \(B\):
• النقطة \(B\) تقع على الماس \(\Delta\) الذي أنشأناه في السؤال (1)
• المطلوب أن تكون الزاوية \(\angle BOT = 60°\)
خطوات الإنشاء:
1. من النقطة \(O\)، ارسم شعاعاً يصنع زاوية \(60°\) مع \([OT]\)
2. تقاطع هذا الشعاع مع الماس \(\Delta\) يعطي النقطة \(B\)
3. تأكد من أن \(\angle BOT = 60°\) باستخدام المنقلة
ملاحظة:
• يمكن أن تكون النقطة \(B\) على أحد جانبي النقطة \(T\) على الماس
• المهم هو أن تحقق الزاوية المطلوبة \(60°\)
(3) احسب \(\angle OBT\) و \(\angle BOE\).

التصحيح - السؤال (3)

حساب \(\angle OBT\):
• في المثلث \(OBT\):
• \(\angle BOT = 60°\) (معطى من السؤال 2)
• \(\angle OTB = 90°\) (لأن الماس \(\Delta\) عمودي على نصف القطر \([OT]\))
• مجموع زوايا المثلث = \(180°\)
\[\angle OBT + \angle BOT + \angle OTB = 180°\]
\[\angle OBT + 60° + 90° = 180°\]
\[\angle OBT = 180° - 150° = 30°\]
حساب \(\angle BOE\):
• النقطتان \(T\) و \(E\) طرفا القطر، إذن \(T\)، \(O\)، \(E\) على استقامة واحدة
• \(\angle TOE = 180°\) (زاوية منبسطة)
• \(\angle BOE = \angle TOE - \angle BOT\)
\[\angle BOE = 180° - 60° = 120°\]
النتائج:
• \(\angle OBT = 30°\)
• \(\angle BOE = 120°\)
(4) ابن \([Tu)\) منصف الزاوية \(\angle OTB\)، والذي يقطع \((OB)\) في النقطة \(F\). احسب \(\angle OTF\) و \(\angle OFT\).

التصحيح - السؤال (4)

إنشاء منصف الزاوية:
• \(\angle OTB = 90°\) (من السؤال 3)
• منصف هذه الزاوية يقسمها إلى زاويتين متساويتين
• ارسم \([Tu)\) بحيث يقسم \(\angle OTB\) بالتساوي
حساب \(\angle OTF\):
• بما أن \([Tu)\) منصف \(\angle OTB\):
\[\angle OTF = \angle FTB = \frac{\angle OTB}{2} = \frac{90°}{2} = 45°\]
حساب \(\angle OFT\):
• في المثلث \(OFT\):
• \(\angle FOT = \angle BOT = 60°\) (نفس الزاوية)
• \(\angle OTF = 45°\) (محسوبة أعلاه)
• مجموع زوايا المثلث = \(180°\)
\[\angle OFT + \angle FOT + \angle OTF = 180°\]
\[\angle OFT + 60° + 45° = 180°\]
\[\angle OFT = 180° - 105° = 75°\]
النتائج:
• \(\angle OTF = 45°\)
• \(\angle OFT = 75°\)
(5) أ) ابن المستقيم \(\Delta'\) الموازي لـ \([ET]\) والجائز من \(F\) والذي يقطع \((BT)\) في النقطة \(G\).

التصحيح - السؤال (5أ)

إنشاء المستقيم الموازي:
• المطلوب إنشاء مستقيم \(\Delta'\) يمر بالنقطة \(F\) ويوازي القطر \([ET]\)
• هذا المستقيم سيقطع المستقيم \((BT)\) في نقطة نسميها \(G\)
خطوات الإنشاء:
1. من النقطة \(F\)، ارسم مستقيماً موازياً للقطر \([ET]\)
2. يمكن استخدام المسطرة والكوس أو نظرية زوايا متناظرة
3. تقاطع هذا المستقيم مع \((BT)\) يعطي النقطة \(G\)
خاصية:
• \(\Delta' \parallel [ET]\) و \(F \in \Delta'\)
• \(G\) هي تقاطع \(\Delta'\) مع \((BT)\)
ب) ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين \(\Delta'\) و \((BT)\). علل جوابك.

التصحيح - السؤال (5ب)

تحليل الوضعية:
• المستقيم \(\Delta'\) يمر بالنقطة \(F\)
• المستقيم \((BT)\) يمر بالنقطتين \(B\) و \(T\)
• المستقيمان يتقاطعان في النقطة \(G\) (حسب السؤال 5أ)
الاستنتاج:
• المستقيمان \(\Delta'\) و \((BT)\) متقاطعان في النقطة \(G\)
التعليل:
• المستقيمان ليسا متوازيين لأن \((BT)\) ليس موازياً لـ \([ET]\)
• \((BT)\) يصل بين نقطة على الماس \(\Delta\) (وهي \(B\)) ونقطة على الدائرة (وهي \(T\))
• بينما \([ET]\) هو قطر الدائرة
• لذلك المستقيمان متقاطعان وليسا متوازيين
ج) أثبت أن \(\angle BFG = \angle BOT\).

التصحيح - السؤال (5ج)

✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.