(أ) ارسم الدائرتين C'(B,3) و C(A,3) وحدد وضعيتهما
النسبية.
تصحيح:
الدائرة C(A,3) مركزها A ونصف قطرها 3، والدائرة C'(B,3) مركزها B ونصف
قطرها 3.
بما أن المسافة بين A وB هي 6 (أي تساوي مجموع نصفي القطرين)، فإن
الدائرتين تتماسان من الخارج في نقطة وحيدة تقع بين A وB. الوضعية النسبية: الدائرتان متماستان خارجياً.
(ب) لتكن النقطة O منتصف [AB]. ماذا تمثل أيضاً النقطة
O؟
تصحيح:
النقطة O منتصف [AB]، إذن OA = OB = 3 وحدات. تمثل أيضاً: مركز الدائرة التي تمر بالنقطتين A وB ونصف قطرها 3، أي
الدائرة المحيطة بالقطعة [AB] والتي يكون قطرها [AB].
(ج) ارسم المستقيم Δ المار من A والعمودي على [AB] حيث
يقطع الدائرة (C) في النقطتين M وN.
تصحيح:
المستقيم Δ يمر من A وعمودي على [AB]. لرسمه: إذا اعتبرنا [AB] أفقيًا، يكون Δ عموديًا عليه ويمر من A.
هذا المستقيم يقطع الدائرة (C) ذات المركز O (منتصف [AB]) ونصف القطر 3 في
نقطتين M وN تقعان على بعد 3 وحدات من O وعموديتين على [AB].
احسب:
زاويتي AÔM و AMÔ.
تصحيح:
النقطة O هي مركز الدائرة، وM على الدائرة.
المثلث AOM قائم في O لأن [AM] نصف قطر عمودي على القطر [AB].
بما أن OA = OM = 3 (أنصاف أقطار)، والمثلث متقايس الضلعين وقائم في
O، إذن الزاويتان عند A وM متساويتان وتساوي كل واحدة 45°.
الزاوية AÔM = 90° (زاوية قائمة عند المركز بين نصف القطرين OA وOM).
الزاوية AMÔ = 45°.
(د) أثبت أن:
MÔN = 90°
تصحيح:
MÔN = MÔA + AÔN = 45° +45° = 90°.
(هـ) المستقيم (OM) يقطع الدائرة (C') في النقطة P.
حدد: الزاويتين OP̂B و BÔP.
تصحيح مفصل:
- الزاويتان MOA و BOP هما زوايا متقابلة بالرأس، لذا هما
متساويتان:
∠MOA = ∠BOP = 45° (حسب المعطيات السابقة في
التمرين).
- المثلث BOP متقايس الضلعين لأن
OB = OP = نصف قطر الدائرة (C').
- مجموع زوايا المثلث يساوي 180°، وبما أن زاوية الرأس BOP = 45°، والزوايا
عند القاعدة متساوية:
∠OPB = (180°-45°)/2
∠OPB = 135°/2
∠OPB = 67.5°
إذن:
∠BÔP = 45°
∠OP̂B = 67.5°
(و) بيّن أن (BP) // (MN).
تصحيح:
المستقيم (MN) عمودي على [AB] ويمر من مركز الدائرة (C)،
OBP= 180- ( OPB+ BOP) = 180° - ( 45° + 45° )= 90°
إذا (BP) أيضًا عموديًا على [AB] ، إذن (BP) // (MN)
لأنهما عموديان على نفس المستقيم ([AB]).
(ز) ارسم المستقيم Δ' المماس للدائرة (C') في النقطة P.
تصحيح:
لرسم المماس للدائرة (C') في النقطة P:
ارسم نصف القطر [BP] (حيث B مركز الدائرة (C')).
المماس Δ' يكون عموديًا على [BP] في النقطة P.
هذه خاصية أساسية: المماس لأي دائرة في نقطة يكون عموديًا على نصف
القطر المار من مركز الدائرة إلى نقطة التماس.