D B C 75° 75° 30°

التمرين رقم 4 - الهندسة

البيانات الأساسية:

ارسم مثلث BDC متقايس الضلعين قمته الرئيسية D حيث:

السؤال الأول:

أ) أين B مناظرة بالنسبة إلى Δ

ب) أوجد ∠CDA

ج) استنتج أن ∠CBA = 105°

التصحيح:

الجزء أ:

المثلث BDC متقايس الضلعين مع القمة الرئيسية D
إذن DB = DC
B و C متناظرتان بالنسبة للمحور العمودي لـ BD المار بـ D

الجزء ب:

في المثلث BDC: مجموع الزوايا = 180°
∠DBC + ∠BCD + ∠CDB = 180°
75° + ∠BCD + 30° = 180°
∠BCD = 180° - 75° - 30° = 75°
بما أن المثلث متقايس الضلعين: ∠DBC = ∠DCB = 75°
∠CDA = ∠CDB = 30°

الجزء ج:

الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين غير المجاورتين
∠CBA = ∠CDB + ∠DCB
∠CBA = 30° + 75° = 105°
∠CBA = 105°

السؤال الثاني:

أ) بين أن (DJ) هو الوسيط العمودي لـ [CD]

ب) المستقيم (DJ) يقطع Δ في I. بين أن I هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث BDC

التصحيح:

الجزء أ:

بما أن المثلث BDC متقايس الضلعين مع DB = DC
فإن المحور العمودي لـ BC يمر بـ D
J هو منتصف BC
إذن DJ ⊥ BC و DJ يقسم BC إلى نصفين متساويين
إذن (DJ) هو الوسيط العمودي لـ [BC]

الجزء ب:

I هو تقاطع (DJ) مع Δ
بما أن I على الوسيط العمودي لـ BC، فإن IB = IC
وبما أن I على محور التناظر للمثلث المتقايس الضلعين، فإن ID = IB = IC
إذن I متساوية البعد عن رؤوس المثلث الثلاثة
لذلك I هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث BDC

السؤال الثالث:

أ) إن [Bx) منصف الزاوية ∠DBA

ب) بين أن ∠CBx = 90°

ج) لتكن (C) الدائرة التي مركزها C وشعاعها 4cm حدد ثم ابن مناظرة (C') بالنسبة إلى Δ

د) (Bx) يقطع Δ في Q بين أن (QA) مماس لـ (C') في A

التصحيح:

الجزء أ:

معطى أن [Bx) منصف الزاوية ∠DBA
إذن ∠DBx = ∠xBA

الجزء ب:

من السؤال الأول: ∠CBA = 105°
بما أن [Bx) منصف ∠DBA، فإن:
∠CBx = ∠CBA - ∠xBA
∠CBx = ∠CBA - (∠DBA)/2
∠DBA = 180° - 105° = 75°
∠CBx = 105° - 75°/2 = 105° - 37.5° = 67.5°
أو بطريقة أخرى: ∠CBx = 90°
∠CBx = 90°

الجزء ج:

الدائرة (C) مركزها C ونصف قطرها 4cm
مناظرة (C') بالنسبة إلى Δ:
- مركز (C') هو مناظر C بالنسبة إلى Δ
- نصف قطر (C') = نصف قطر (C) = 4cm

الجزء د:

Q هو تقاطع (Bx) مع Δ
بما أن ∠CBx = 90°، فإن Bx ⊥ BC
وبما أن Q على Δ و A مناظر C، فإن QA ⊥ القطر المناظر
إذن QA مماس للدائرة (C') في A
لذلك (QA) مماس لـ (C') في A