تمرين في الهندسة: الزوايا والتناظر

تأمل الرسم التالي حيث [Oy) منصف الزاوية xOy = 110° والمستقيم العمودي A على (Ox)

1. احسب ∠ABO.
   إظهار التصحيح
   التصحيح:
   
   المعطيات:

   • [Oy) منصف الزاوية xOy
   • ∠xOy = 110°
   • المستقيم A عمودي على (Ox)

   الحل:
   بما أن [Oy) منصف الزاوية xOy، فإن:
   ∠xOy = ∠yOx = 110°/2 = 55°
   بما أن A عمودي على (Ox)، فإن ∠AOx = 90°
   إذن: ∠ABO = 90° - 55° = 35°
2. أ- أين النقطة C المستقيم العمودي للنقطة B على (Oy)؟
   ب- احسب البعد BC مبرراً جوابك.
   إظهار التصحيح
   التصحيح:
   
   أ- موقع النقطة C:
   النقطة C هي إسقاط النقطة B عمودياً على المستقيم (Oy)
   أي أن C تقع على (Oy) بحيث BC ⊥ Oy
   
   ب- حساب البعد BC:
   في المثلث القائم OBC:

   • ∠OCB = 90° (لأن BC ⊥ Oy)
   • ∠COB = 55° (لأن [Oy) منصف)

   بما أن C هو المسقط العمودي للنقطة B على (Oy)، فإن BC هو بعد النقطة B عن المستقيم (Oy)، وهو أصغر بعد بين B وأيّ نقطة من (Oy).
   
   وبما أن [Oy) منصف الزاوية، وكل نقطة من منصف زاوية تكون متساوية البعد عن ضلعي الزاوية، فإن كل نقطة من [Oy) تبعد عن (Ox) نفس بعدها عن الضلع الآخر.
3. أ- احسب ∠ABC.
   ب- استنتج أن [BO) هو منصف الزاوية ∠ABC.
   إظهار التصحيح
   التصحيح:
   
   أ- حساب ∠ABC:
   في المثلث ABC:

   • ∠BAO = 90° (لأن A ⊥ Ox)
   • ∠BCO = 90° (لأن C ⊥ Oy)

   بتطبيق خصائص الزوايا في المضلع:
   ∠ABC = 180° - ∠ABO - ∠OBC
   
   ب- إثبات أن [BO) منصف ∠ABC:
   لإثبات أن [BO) منصف، نحتاج إثبات أن:
   ∠ABO = ∠CBO
   من التماثل في الإنشاء وخصائص المنصف، نحصل على:
   ∠ABO = ∠CBO = 35°
4. بين أن النقطتين A و C متناظرتان بالنسبة إلى المستقيم (OB).
   إظهار التصحيح
   التصحيح:
   
   لإثبات أن A و C متناظرتان بالنسبة إلى (OB)، يكفي أن نبيّن أن (OB) هو الموسّط العمودي للقطعة [AC]، أي:

   • (OB) ⊥ (AC)
   • و (OB) يمرّ بمنتصف [AC]

   ويمكن أيضًا الاستناد إلى أنّ كلّ نقطة من (OB) متساوية البعد عن A و C، لأنّ الموسّط العمودي لقطعة مستقيم هو مجموعة النقاط المتساوية البعد عن طرفيها.
5. أتمم بما يناسب:
   - مناظر [CA) بالنسبة إلى (OB) هو ............
   - مناظر (AB) بالنسبة إلى (OB) هو ............
   إظهار التصحيح
   التصحيح:
   
   الإجابات:
   - مناظر [CA) بالنسبة إلى (OB) هو [AC)
   - مناظر (AB) بالنسبة إلى (OB) هو (CB)
   
   التبرير:
   بما أن A و C متناظرتان بالنسبة إلى (OB)، فإن:

   • النصف المستقيم [CA) يناظر النصف المستقيم [AC)
   • المستقيم (AB) يناظر المستقيم (CB)