تمرين رقم 3 - الهندسة
المعطيات:
في الرسم المرافق:
- ∠xOz = 40°
- ∠xOt = 130°
- O ∈ (At)
- B ∈ [Oy)
- AB = AO
- ∠BAO = 80°
السؤال الأول:
احسب ∠yOt
التصحيح:
المعطى: ∠xOz = 40° و ∠xOt = 130°
أولاً نحسب ∠zOt:
∠zOt = ∠xOt - ∠xOz = 130° - 40° = 90°
من الشكل، نلاحظ أن y تقع بين z و t
إذا كانت y في المنتصف تقريباً، فإن:
∠yOt = ∠zOt - ∠yOz
من الشكل: ∠yOt = 50°
∠yOt = 50°
السؤال الثاني:
بين أن (Oz) ⊥ (Ot)
التصحيح:
لإثبات أن المستقيمين متعامدين، نحتاج لإثبات أن الزاوية بينهما = 90°
نعلم أن: ∠xOz = 40°
ونعلم أن: ∠xOt = 130°
نحسب الزاوية ∠zOt:
∠zOt = ∠xOt - ∠xOz = 130° - 40° = 90°
بما أن ∠zOt = 90°، إذن (Oz) ⊥ (Ot)
السؤال الثالث:
ارسم دائرة C مركزها A وتمر من B
أ- بين أن النقطة O تنتمي إلى الدائرة C
ب- استنتج أن (Oz) مماس للدائرة C
التصحيح:
الجزء أ:
المعطى: AB = AO
نصف قطر الدائرة C = AB = AO
بما أن المسافة من A إلى O تساوي نصف القطر، فإن O تنتمي إلى الدائرة C
الجزء ب:
لإثبات أن (Oz) مماس للدائرة، نحتاج لإثبات أن AO ⊥ Oz
من السؤال الثاني: (Oz) ⊥ (Ot)
ومن المعطيات: O ∈ (At), أي أن A و O و t على استقامة واحدة
إذن: AO موازي لـ (Ot)
وبما أن (Oz) ⊥ (Ot)، فإن AO ⊥ Oz
وبما أن AO هو نصف قطر والمستقيم Oz عمودي عليه في نقطة التماس O، فإن (Oz) مماس للدائرة C
السؤال الرابع:
المستقيم المماس للدائرة C في B والمار من A يقطع (Oz) في نقطة I
بين أن [IA] منصف الزاوية ∠BIz
التصحيح:
بما أن IO و IB مماسان للدائرة C من النقطة الخارجية I:
IO = IB (طولا المماسين من نقطة خارجية متساويان)
المثلث IOB متقايس الضلعين
IA هو المحور المتوسط للمثلث IOB
إذن: ∠BIA = ∠OIA
وهذا يعني أن [IA] منصف الزاوية ∠BIz
السؤال الخامس:
احسب ∠IOB و ∠OIB واستنتج ∠IBO
التصحيح:
في المثلث AOB:
AO = AB (معطى)
∠BAO = 80° (معطى)
المثلث AOB متقايس الضلعين
∠ABO = ∠AOB = (180° - 80°)/2 = 50°
من الشكل:
∠IOB = ∠AOB = 50°
في المثلث IOB متقايس الضلعين (IO = IB):
∠OIB = ∠IBO = (180° - 50°)/2 = 65°
النتائج النهائية:
∠IOB = 50°
∠OIB = 65°
∠IBO = 65°