تمرين هندسة الزوايا والمستقيمات المتوازية - التمرين رقم 5

[رسم هندسي يوضح المثلث والنقاط المذكورة]
A B C D E 35° 55°

(وحدة قياس الطول هي السنتيمتر)

في الرسم المرافق: BAF = 35°، DAC = 55°، (BE) ∥ (AC)

EB = 2، AB = 3

1- بين أن المستقيمين (AD) و (AC) متعامدان

الحل التفصيلي:

  1. الزاوية BAF = 35° (معطاة)
  2. الزاوية DAC = 55° (معطاة)
  3. الزاوية بين (AD) و (AC) هي مجموع الزاويتين: 35° + 55° = 90°
  4. إذن المستقيمان (AD) و (AC) متعامدان

ب- استنتج أن المستقيمين (BE) و (AD) متعامدان

الحل التفصيلي:

  1. نعلم أن (BE) ∥ (AC) (معطاة)
  2. وأن (AD) ⊥ (AC) (كما أثبتنا في الجزء أ)
  3. إذا كان مستقيم عمودي على أحد مستقيمين متوازيين فهو عمودي على الآخر
  4. إذن (AD) ⊥ (BE)

2- حدد بعد النقطة E عن المستقيم (AC). علل جوابك

الحل التفصيلي:

  1. بعد نقطة عن مستقيم هو طول العمود النازل من النقطة على المستقيم
  2. النقطة E تنتمي إلى المستقيم (BE)، و (BE) ∥ (AC)
  3. والبعد بين مستقيمين متوازيين هو البعد بين نقطة من أحدهما والمستقيم الآخر
  4. إذن بعد E عن (AC) يساوي البعد بين المستقيمين المتوازيين (BE) و (AC)
  5. وهو نفسه بعد النقطة B عن (AC)، وبعد أيّ نقطة أخرى من (BE) عن (AC): هذا البعد ثابت على طول المستقيم (BE)

3- لتكن C دائرة مركزها E وتمر من B

الحل التفصيلي:

  1. نصف قطر الدائرة C = EB = 2 سم
  2. الدائرة C:
    • المركز: E
    • نصف القطر: 2 سم
    • تمر عبر النقطة B لأن BE هو نصف القطر

4- ما هي الوضعية النسبية للدائرة C والمستقيم (AB)؟ علل جوابك

الحل التفصيلي:

  1. النقطة B تنتمي إلى المستقيم (AB)، وتنتمي أيضًا إلى الدائرة C (لأنّ EB = 2 سم هو نصف قطرها)
  2. إذن للمستقيم (AB) والدائرة C نقطة مشتركة على الأقل هي B: فهما إمّا متماسّان وإمّا متقاطعان
  3. والمماس لدائرة في نقطة منها هو المستقيم العمودي على شعاعها في تلك النقطة. فلو كان (AB) مماسًّا للدائرة في B، لوجب أن يكون (AB) ⊥ [EB]، أي الزاوية EBA = 90°
  4. لكنّ الزاوية EBA ≠ 90°، إذن (AB) ليس مماسًّا للدائرة
  5. وبالتالي المستقيم (AB) يقطع الدائرة C في نقطتين، إحداهما B

5- أكمل بما يناسب

أ- الزاويتان BAF و DAC ......

الحل:

الزاويتان BAF و DAC متتامتان (لأن مجموعها 90°: 35° + 55° = 90°)

ب- الزاويتان DAC و DAB متجاورتان ومتكاملتان

الحل:

  1. متجاورتان: لأنهما تشتركان في الضلع AD والرأس A
  2. متكاملتان: لأن مجموعهما 180° (55° + 125° = 180°، حيث DAB = 180° - BAF = 180° - 35° = 145°)
  3. ملاحظة: يبدو أن هناك خطأ في النص الأصلي حيث ذكر DAC مرتين