تمرين هندسة الدوائر والزوايا - التمرين رقم 21

A O B

تعتبر قطعة مستقيم [AB] حيث AB = 6.

أ) ارسم الدائرتين (A,3) و C¹ وحدد وضعيتهما النسبية.

الحل التفصيلي:

  1. نرسم القطعة المستقيمة [AB] بطول 6 وحدات
  2. نرسم الدائرة (A,3):
    • مركزها النقطة A
    • نصف قطرها 3 وحدات (نصف AB)
  3. نفترض أن C¹ هي الدائرة (B,3) (حسب سياق التمرين):
    • مركزها النقطة B
    • نصف قطرها 3 وحدات
  4. الوضعية النسبية:
    • المسافة بين المركزين AB = 6
    • مجموع نصف القطرين = 3 + 3 = 6
    • إذن الدائرتان متماستان من الخارج

ب) لتكن النقطة O منتصف [AB]. ماذا تمثل أيضًا النقطة O؟

الحل التفصيلي:

  1. نقطة O هي منتصف [AB] لذا:
    • AO = OB = 3 وحدات
  2. النقطة O تمثل أيضًا:
    • نقطة التماس بين الدائرتين (A,3) و (B,3)
    • مركز الدائرة المحيطة إذا اعتبرنا دائرة قطرها AB

ج) ارسم المستقيم A المار من A والعمودي على [AB] حيث يقطع الدائرة C في النقطتين M و N. احسب: AM̂O و AÔM.

الحل التفصيلي:

  1. نرسم المستقيم A العمودي على [AB] في النقطة A
  2. هذا المستقيم يقطع الدائرة (A,3) في نقطتين M و N:
    • AM = AN = 3 (أنصاف أقطار)
    • المثلث AMO قائم في A (لأن A عمودي على AB)
  3. حساب الزوايا:
    • في المثلث AMO القائم في A:
    • AO = 3 (نصف AB)
    • AM = 3 (نصف قطر)
    • إذن المثلث متقايس الضلعين
    • لذلك AM̂O = AÔM = (180°-90°)/2 = 45°

د) أثبت أن: MN̂O = 90°.

✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.

هـ) المستقيم (OM) يقطع الدائرة C في النقطة P. حدد: OP̂B و BÔP.

الحل التفصيلي:

  1. النقطة P تقع على تقاطع (OM) مع الدائرة (B,3)
  2. الزوايا:
    • OP̂B = 45° (مشابهة لـ AM̂O)
    • BÔP = 45° (المثلث BOP متقايس الضلعين OB = BP = 3)

و) بين أن: |BP|/|MN| = 1/2.

الحل التفصيلي:

  1. |MN| = 6 (قطر الدائرة A)
  2. |BP| = 3 (نصف قطر الدائرة B)
  3. النسبة |BP|/|MN| = 3/6 = 1/2

ز) ارسم المستقيم A المماس للدائرة C في النقطة P.

الحل التفصيلي:

  1. المماس يكون عمودياً على نصف القطر عند نقطة التماس
  2. نرسم المستقيم العمودي على BP عند النقطة P
  3. هذا المستقيم هو المماس المطلوب