x y z O 70°
ارسم زاوية xOy قياسها = 70° وابن منصفها [Oz].
السؤال الأول

عين نقطة A على [Oz]. المستقيم العمودي على (Ox) والمار من A يقطع (Ox) في نقطة C.

الحل التفصيلي:

  1. رسم الزاوية xOy بقياس 70°:
    • نرسم الضلع (Ox) أفقياً
    • نرسم الضلع (Oy) بزاوية 70° مع (Ox)
  2. رسم منصف الزاوية [Oz]:
    • نقسم الزاوية xOy إلى زاويتين متساويتين 35° لكل منهما
    • نرسم [Oz] في منتصف الزاوية
  3. تحديد النقطة A:
    نختار نقطة A على [Oz] (يفضل بعيدة عن الرأس O للوضوح)
  4. رسم المستقيم العمودي:
    • نرسم المستقيم العمودي على (Ox) المار من A
    • نستخدم المنقلة لرسم زاوية 90° مع (Ox)
    • هذا المستقيم يقطع (Ox) في النقطة C
مفهوم هندسي: منصف الزاوية هو الشعاع الذي يقسم الزاوية إلى زاويتين متساويتين.
السؤال الثاني

ارسم الدائرة A التي مركزها A وشعاعها AC.

الحل التفصيلي:

  1. قياس نصف القطر:
    نقيس طول القطعة AC باستخدام المسطرة
  2. رسم الدائرة:
    • نضع رأس الفرجار على النقطة A (المركز)
    • نفتح الفرجار بطول AC (نصف القطر)
    • نرسم الدائرة الكاملة
  3. التحقق:
    هذه الدائرة ستمر حتماً بالنقطة C لأن AC هو نصف قطرها
تعريف: الدائرة هي مجموعة جميع النقاط التي تبعد مسافة ثابتة (نصف القطر) عن نقطة ثابتة (المركز).
أ)

ما هي الوضعية النسبية للدائرة A والمستقيم (Ox).

الحل التفصيلي:

  1. تحليل الوضعية:
    الدائرة A تمس المستقيم (Ox) في النقطة C
  2. المبرر الهندسي:
    • AC هو نصف قطر الدائرة
    • AC عمودي على (Ox) عند النقطة C
  3. نظرية التماس:
    إذا كان نصف القطر عمودياً على مستقيم عند نقطة تقاطع الدائرة مع المستقيم، فإن المستقيم مماس للدائرة
  4. الاستنتاج:
    الوضعية النسبية هي: (Ox) مماس للدائرة A عند النقطة C
خاصية التماس: المماس للدائرة عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس.
ب)

بين أن المستقيم (Oy) مماس للدائرة A.

الحل التفصيلي:

  1. شرط الإثبات:
    لإثبات أن (Oy) مماس للدائرة A، يجب إثبات أن المسافة من A إلى (Oy) تساوي نصف قطر الدائرة
  2. المعطيات المهمة:
    • A تقع على منصف الزاوية xOy
    • المسافة من A إلى (Ox) تساوي AC (نصف القطر)
  3. خاصية منصف الزاوية:
    أي نقطة على منصف الزاوية متساوية البعد عن ضلعي الزاوية
  4. التطبيق:
    إذن المسافة من A إلى (Oy) تساوي المسافة من A إلى (Ox) والتي تساوي AC
  5. الاستنتاج:
    بالتالي (Oy) مماس للدائرة A
  6. نقطة التماس:
    نقطة التماس هي تقاطع العمود من A على (Oy) مع (Oy)
خاصية منصف الزاوية: كل نقطة على منصف الزاوية تبعد نفس المسافة عن ضلعي الزاوية.
ج)

ليكن: [B] ∩ ∅ = [B]. احسب OAB.

الحل التفصيلي:

  1. تفسير الرمزية:
    نفترض أن B نقطة تقاطع الدائرة A مع (Oy) - أي نقطة التماس
  2. تحليل المثلث OAB:
    • بما أن (Oy) مماس للدائرة A، فإن AB هو نصف القطر العمودي على (Oy)
    • إذن الزاوية OBA = 90°
  3. حساب الزوايا في المثلث OAB:
    • الزاوية OBA = 90° (لأن AB ⊥ Oy)
    • الزاوية AOB = 35° (نصف الزاوية xOy لأن A على المنصف)
  4. تطبيق مجموع زوايا المثلث:
    • مجموع الزوايا في المثلث = 180°
    • OAB = 180° - 90° - 35°
    • OAB = 55°
  5. النتيجة النهائية:
    إذن قياس الزاوية OAB = 55°
قاعدة: مجموع زوايا أي مثلث يساوي 180°.