ابن نصف المستقيم \([Oz)\) بحيث \(\angle yOz = 60°\).
أ) الرسم يتطلب أدوات هندسية.
الخطوات:
1. ارسم مستقيماً يمثل الزاوية المنبسطة \(\angle xOy\)، أي خطاً مستقيماً يمر بالنقطة O.
2. ضع رأس المنقلة عند النقطة O، وضع خط الصفر للمنقلة على نصف المستقيم \([Oy)\).
3. حدد علامة عند \(60°\).
4. ارسم نصف المستقيم \([Oz)\) من النقطة O ماراً بهذه العلامة.
كيف هما الزاويتان \(\angle xOz\) و \(\angle yOz\)؟ احسب \(\angle xOz\).
ب) تحديد نوع الزاويتين \(\angle xOz\) و \(\angle yOz\):
الزاويتان \(\angle xOz\) و \(\angle yOz\) متجاورتان لأنهما تشتركان في الرأس O ونصف المستقيم \([Oz)\) وضلعيهما الآخران \([Ox)\) و \([Oy)\) على استقامة واحدة (لأن \(\angle xOy\) زاوية منبسطة).
وبما أن مجموع قياسهما يساوي قياس الزاوية المنبسطة (\(180°\))، فهما زاويتان متكاملتان.
لحساب \(\angle xOz\):
نعلم أن \(\angle xOy = 180°\) (زاوية منبسطة).
ونعلم أن \(\angle yOz = 60°\) (معطى).
بما أن \(\angle xOz\) و \(\angle yOz\) متكاملتان، فإن:
\[\angle xOz + \angle yOz = 180°\]
\[\angle xOz + 60° = 180°\]
\[\angle xOz = 180° - 60°\]
\[\angle xOz = 120°\]
ارسم نصف المستقيم \([Ot)\) بحيث تكون الزاوية \(\angle yOt\) مجاورة ومكملة للزاوية \(\angle yOz\).
أ) الرسم يتطلب أدوات هندسية.
الخطوات:
1. بما أن \(\angle yOt\) مجاورة ومكملة للزاوية \(\angle yOz\)، فهذا يعني أن ضلعي الزاويتين غير المشتركين، أي \([Oz)\) و \([Ot)\)، يشكلان مستقيماً (أي زاوية منبسطة).
2. وبالتالي، نصف المستقيم \([Ot)\) سيكون على استقامة واحدة مع نصف المستقيم \([Oz)\) ولكن في الاتجاه المعاكس من O.
3. ببساطة، ارسم امتداداً لنصف المستقيم \([Oz)\) عبر النقطة O؛ هذا الامتداد هو نصف المستقيم \([Ot)\).
أوجد \(\angle xOz \cap \angle yOz\) و \(\angle yOt \cap \angle xOz\).
ب) إيجاد التقاطعات:
1. \(\angle xOz \cap \angle yOz\):
الزاويتان \(\angle xOz\) و \(\angle yOz\) متجاورتان وتشتركان في نصف المستقيم \([Oz)\).
لذلك، تقاطعهما هو نصف المستقيم \([Oz)\).
2. \(\angle yOt \cap \angle xOz\):
الزاوية \(\angle yOt\) هي الزاوية التي تكون فيها \([Oy)\) و \([Ot)\) ضلعين.
الزاوية \(\angle xOz\) هي الزاوية التي تكون فيها \([Ox)\) و \([Oz)\) ضلعين.
نصف المستقيم \([Oy)\) يقع ضمن الزاوية \(\angle xOt\) لأن \([Ot)\) هو امتداد لـ \([Oz)\).
نصف المستقيم \([Oz)\) يقع ضمن الزاوية \(\angle xOy\).
بما أن \(\angle yOt\) و \(\angle yOz\) متكاملتان ومجاورتان، فإن \([Ot)\) و \([Oz)\) على استقامة واحدة.
وبما أن \(\angle xOy\) زاوية منبسطة، فإن \([Ox)\) و \([Oy)\) على استقامة واحدة.
التقاطع بين \(\angle yOt\) و \(\angle xOz\) هو ببساطة النقطة O لأن ليس لديهما منطقة مشتركة بخلاف الرأس المشترك O.
ملاحظة: إذا كان المقصود هو المنطقة المشتركة بين هاتين الزاويتين كأقواس، فالتقاطع هو مجرد النقطة O لأن اتجاهاتهما مختلفة تماماً.
ابن نصف المستقيم \([Ou)\) منصف الزاوية \(\angle xOz\). بين أن الزاويتين \(\angle xOu\) و \(\angle yOt\) متكاملتان.
(3) أ) الرسم يتطلب أدوات هندسية.
لإنشاء \([Ou)\) منصف الزاوية \(\angle xOz\):
1. بما أن \(\angle xOz = 120°\) (من السؤال 1/ب).
2. فإن منصف الزاوية \([Ou)\) سيقسمها إلى زاويتين متساويتين:
\[\angle xOu = \angle uOz = \frac{1}{2} \times 120° = 60°\]
3. استخدم منقلة أو فرجار لإنشاء المنصف.
ب) لبيان أن الزاويتين \(\angle xOu\) و \(\angle yOt\) متكاملتان:
نحن نعلم أن \(\angle xOu = 60°\) (بما أن \([Ou)\) هو منصف \(\angle xOz\)).
نحن نعلم أن \(\angle yOz = 60°\) (معطى).
وبما أن \(\angle yOt\) و \(\angle yOz\) متكاملتان (من السؤال 2/أ)، فإن:
\[\angle yOt + \angle yOz = 180°\]
\[\angle yOt + 60° = 180°\]
\[\angle yOt = 180° - 60° = 120°\]
الآن، نجمع قياس الزاويتين \(\angle xOu\) و \(\angle yOt\):
\[\angle xOu + \angle yOt = 60° + 120° = 180°\]
بما أن مجموع قياسهما \(180°\)، فإن الزاويتين \(\angle xOu\) و \(\angle yOt\) متكاملتان.