ارسم دائرة \[(\mathcal{C})\] مركزها O وقطرها [AB] حيث يكون \[AB=8\].
أ) الرسم يتطلب أدوات هندسية.
الخطوات:
1. ارسم قطعة مستقيم [AB] بطول 8 سم.
2. حدد النقطة O في منتصف [AB] (حيث \[AO = OB = 4\] سم).
3. ارسم دائرة (\[\mathcal{C}\]) بمركز O ونصف قطر \[R = 4\] سم.
عين نقطة C من هذه الدائرة حيث يكون \[AC=4\].
بين أن المثلث OAC متقايس الأضلاع.
ب) لتعيين النقطة C:
1. افتح الفرجار بطول 4 سم (نفس طول نصف القطر).
2. ضع رأس الفرجار على النقطة A وارسم قوسًا يقطع الدائرة (\[\mathcal{C}\]).
3. نقطة التقاطع هي C.
لبيان أن المثلث OAC متقايس الأضلاع:
لدينا \[AO = 4\] سم (نصف قطر الدائرة).
ولدينا \[OC = 4\] سم (نصف قطر الدائرة).
ولدينا \[AC = 4\] سم (معطى).
بما أن \[AO = OC = AC = 4\] سم، فإن المثلث OAC متقايس الأضلاع.
حدد \[\hat{A\hat{O}C}\] و \[\hat{B\hat{O}C}\].
ج) لتحديد \[\hat{A\hat{O}C}\]:
بما أن المثلث OAC متقايس الأضلاع (من السؤال ب)، فإن جميع زواياه متساوية وتساوي \[60^{\circ}\].
إذن، \[\hat{A\hat{O}C} = 60^{\circ}\].
لتحديد \[\hat{B\hat{O}C}\]:
النقاط A، O، B على استقامة واحدة (لأن [AB] قطر).
إذن، الزاوية \[\hat{A\hat{O}B}\] هي زاوية مستقيمة قياسها \[180^{\circ}\].
لدينا \[\hat{A\hat{O}B} = \hat{A\hat{O}C} + \hat{B\hat{O}C}\].
\[180^{\circ} = 60^{\circ} + \hat{B\hat{O}C}\].
\[\hat{B\hat{O}C} = 180^{\circ} - 60^{\circ}\].
\[\hat{B\hat{O}C} = 120^{\circ}\].
أثبت أن : \[\hat{O\hat{C}B} = \hat{C\hat{B}O} = 30^{\circ}\].
د) لإثبات أن \[\hat{O\hat{C}B} = \hat{C\hat{B}O} = 30^{\circ}\]:
في المثلث BOC:
لدينا \[OB = OC = 4\] سم (نصفا قطر الدائرة).
إذن، المثلث BOC متقايس الساقين في O.
وبالتالي، الزاويتان القاعديتان متساويتان: \[\hat{O\hat{C}B} = \hat{C\hat{B}O}\].
مجموع زوايا المثلث BOC هو \[180^{\circ}\].
لدينا \[\hat{B\hat{O}C} = 120^{\circ}\] (من السؤال ج).
إذن، \[\hat{O\hat{C}B} + \hat{C\hat{B}O} + \hat{B\hat{O}C} = 180^{\circ}\].
\[2 \times \hat{O\hat{C}B} + 120^{\circ} = 180^{\circ}\].
\[2 \times \hat{O\hat{C}B} = 180^{\circ} - 120^{\circ}\].
\[2 \times \hat{O\hat{C}B} = 60^{\circ}\].
\[\hat{O\hat{C}B} = \frac{60^{\circ}}{2}\].
\[\hat{O\hat{C}B} = 30^{\circ}\].
وبما أن \[\hat{O\hat{C}B} = \hat{C\hat{B}O}\]، فإن \[\hat{C\hat{B}O} = 30^{\circ}\].
بين أن : \[(BC) \perp (AC)\].
هـ) لبيان أن \[(BC) \perp (AC)\]:
نحسب قياس الزاوية \[\hat{A\hat{C}B}\].
لدينا \[\hat{A\hat{C}B} = \hat{A\hat{C}O} + \hat{O\hat{C}B}\].
من السؤال ج، المثلث OAC متقايس الأضلاع، إذن \[\hat{A\hat{C}O} = 60^{\circ}\].
من السؤال د، \[\hat{O\hat{C}B} = 30^{\circ}\].
إذن، \[\hat{A\hat{C}B} = 60^{\circ} + 30^{\circ}\].
\[\hat{A\hat{C}B} = 90^{\circ}\].
بما أن قياس الزاوية \[\hat{A\hat{C}B}\] هو \[90^{\circ}\]، فإن المستقيمين \[(BC)\] و \[(AC)\] متعامدان.
طريقة أخرى: بما أن C نقطة من الدائرة و [AB] قطر، فإن المثلث ACB قائم الزاوية في C (نظرية الدائرة المحيطة بالمثلث القائم).
ارسم المستقيم المار من O والموازي للمستقيم \[(AC)\] حيث يقطع \[[BC]\] في D.
حدد أقيسة زوايا المثلث OCD.
و) الرسم يتطلب أدوات هندسية.
لإنشاء المستقيم المار من O والموازي لـ \[(AC)\]:
1. ارسم خطًا يمر بالنقطة O ويوازي المستقيم \[(AC)\].
2. النقطة D هي تقاطع هذا الخط مع قطعة المستقيم \[[BC]\].
ز) لتحديد أقيسة زوايا المثلث OCD:
في المثلث OCD:
1. الزاوية \[\hat{C\hat{O}D}\]:
✍️ إصلاح حساب الزاوية \[\hat{C\hat{O}D}\] سيُدرَج لاحقًا.
2. الزاوية \[\hat{O\hat{C}D}\]:
الزاوية \[\hat{O\hat{C}D}\] هي نفسها الزاوية \[\hat{O\hat{C}B}\] لأن D تقع على [BC].
من السؤال د، \[\hat{O\hat{C}B} = 30^{\circ}\].
إذن، \[\hat{O\hat{C}D} = 30^{\circ}\].
3. الزاوية \[\hat{O\hat{D}C}\]:
مجموع زوايا المثلث OCD هو \[180^{\circ}\].
\[\hat{O\hat{D}C} = 180^{\circ} - (\hat{C\hat{O}D} + \hat{O\hat{C}D})\]
وبعد إدراج قيمة \[\hat{C\hat{O}D}\] يمكن إتمام هذا الحساب.
بين أن نصف المستقيم \[[OD)\] هو منصف الزاوية \[\hat{B\hat{O}C}\].
ح) لبيان أن نصف المستقيم \[[OD)\] هو منصف الزاوية \[\hat{B\hat{O}C}\]:
نحتاج إلى إثبات أن \[\hat{B\hat{O}D} = \hat{D\hat{O}C}\].
من السؤال ج، لدينا \[\hat{B\hat{O}C} = 120^{\circ}\].
من السؤال ز، لدينا \[\hat{D\hat{O}C} = 60^{\circ}\].
بما أن D تقع على [BC]، فإن \[\hat{B\hat{O}D} = \hat{B\hat{O}C} - \hat{D\hat{O}C}\].
\[\hat{B\hat{O}D} = 120^{\circ} - 60^{\circ}\].
\[\hat{B\hat{O}D} = 60^{\circ}\].
بما أن \[\hat{B\hat{O}D} = 60^{\circ}\] و \[\hat{D\hat{O}C} = 60^{\circ}\].
فإن \[\hat{B\hat{O}D} = \hat{D\hat{O}C}\].
وبالتالي، نصف المستقيم \[[OD)\] هو منصف الزاوية \[\hat{B\hat{O}C}\].