التمرين رقم 23

أ) ارسم دائرة \((C)\) مركزها \(O\) وشعاعها \(3\)، وليكن \([AB]\) قطراً لها.

التصحيح - السؤال أ

الرسم الهندسي:
1. ضع نقطة \(O\) في وسط الورقة كمركز للدائرة
2. استخدم الفرجار واضبط فتحته على \(3\) سم
3. ارسم الدائرة \((C)\) بمركز \(O\) ونصف قطر \(3\) سم
4. ارسم قطراً \([AB]\) يمر بالمركز \(O\)

ملاحظات مهمة:
• القطر \([AB] = 2 \times\) نصف القطر \(= 2 \times 3 = 6\) سم
• النقطتان \(A\) و \(B\) تقعان على الدائرة
• المركز \(O\) يقع في منتصف القطر \([AB]\)

ب) ارسم \([Ox)\) منصف الزاوية \(\angle AOB\) حيث يقطع الدائرة \((C)\) في النقطة \(C\). بين أن: \((OC) \perp (AB)\)

التصحيح - السؤال ب

الرسم:
1. لاحظ أن \(\angle AOB\) هي زاوية منبسطة (مستقيمة) = \(180°\)
2. منصف هذه الزاوية يقسمها إلى زاويتين متساويتين كل منهما \(90°\)
3. ارسم العمود على \([AB]\) من النقطة \(O\)
4. هذا العمود يقطع الدائرة في النقطة \(C\)

البرهان أن \((OC) \perp (AB)\):
• منصف الزاوية المنبسطة \(\angle AOB\) يكون عمودياً على ضلعي الزاوية
• بما أن \([Ox)\) هو منصف \(\angle AOB\)، فإن:

\angle AOX = \angle XOB = \frac{180°}{2} = 90°

• إذن \((OC) \perp (AB)\) لأن \(\angle COA = \angle COB = 90°\)

ج) بين أن: \(\angle AOC = \angle ACO = 45°\)

التصحيح - السؤال ج

دراسة المثلث \(AOC\):
• \(OA = OC = 3\) سم (نصف قطر الدائرة)
• إذن المثلث \(AOC\) متقايس الضلعين
• في المثلث متقايس الضلعين، زاويتا القاعدة متساويتان

حساب الزوايا:
• من السؤال السابق: \(\angle AOC = 90°\) (لأن \(OC \perp AB\))
• في المثلث \(AOC\): مجموع الزوايا = \(180°\)

\angle OAC + \angle ACO + \angle AOC = 180°

• بما أن \(\angle AOC = 90°\) و \(\angle OAC = \angle ACO\) (مثلث متقايس الضلعين):

2 \times \angle ACO + 90° = 180°

2 \times \angle ACO = 90°

\angle ACO = 45°

• وبالتالي: \(\angle AOC = \angle ACO = 45°\) ❌
• تصحيح: \(\angle AOC = 90°\) و \(\angle ACO = \angle CAO = 45°\)

د) برهن على أن: \(\angle ACB = 90°\)

التصحيح - السؤال د

\(\angle ACO = \angle CAO = 45°\)
• ACB = 180° - ( OAC + OBC ) 180° -( 45° + 45°)=180° - 90° =90°
• إذن: \(\angle ACB = 90°\)

هـ) ارسم \([Oy)\) منصف الزاوية \(\angle BOC\) حيث يقطع \([BC]\) في النقطة \(D\). حدد أقيسة زوايا المثلث \(OBD\).

التصحيح - السؤال هـ

الرسم:
• \(\angle BOC = 90°\) (من السؤال ب)
• منصف هذه الزاوية يقسمها إلى زاويتين متساويتين: \(45°\) لكل منهما
• ارسم \([Oy)\) بحيث \(\angle BOY = \angle YOC = 45°\)
• \([Oy)\) يقطع \([BC]\) في النقطة \(D\)

حساب زوايا المثلث \(OBD\):
• \(\angle BOD = 45°\) (لأن \([OD)\) منصف \(\angle BOC\))
• في المثلث \(OBC\) متقايس الضلعين: \(OB = OC = 3\) سم
• \(\angle OBC = \angle OCB = 45°\)
• في المثلث \(OBD\):

\angle OBD = \angle OBC = 45°

\angle BOD = 45°

\angle BDO = 180° - 45° - 45° = 90°

النتيجة:
زوايا المثلث \(OBD\) هي: \(45°, 45°, 90°\)
إذن المثلث \(OBD\) قائم الزاوية في \(D\) ومتقايس الضلعين

و) استنتج أن: \((OD) \parallel (AC)\)

التصحيح - السؤال و

تحليل الوضعية:
• من السؤال د: \(\angle ACB = 90°\)، إذن \((AC) \perp (BC)\)
• من السؤال هـ: في المثلث \(OBD\)، \(\angle BDO = 90°\)، إذن \((OD) \perp (BC)\)

تطبيق خاصية التوازي:
• خاصية: إذا كان مستقيمان عموديان على مستقيم ثالث، فإنهما متوازيان
• لدينا: \((AC) \perp (BC)\) و \((OD) \perp (BC)\)

الاستنتاج:
• بتطبيق الخاصية أعلاه على المستقيمين \((AC)\) و \((OD)\) اللذين كلاهما عموديان على \((BC)\)
• نستنتج أن: \((OD) \parallel (AC)\)