أ/ ابن المماس \(\Delta\) للدائرة \(\mathcal{C}\) في النقطة \(T\).
أ) الرسم يتطلب أدوات هندسية.
لإنشاء المماس \(\Delta\) للدائرة \(\mathcal{C}\) في النقطة \(T\)، اتبع الخطوات التالية:
ارسم نصف القطر \(\overline{OT}\).
المماس \(\Delta\) يكون عمودياً على نصف القطر \(\overline{OT}\) عند النقطة \(T\).
ارسم مستقيماً يمر بالنقطة \(T\) ويكون عمودياً على \(\overline{OT}\).
هذا المستقيم هو المماس \(\Delta\).
لتكن \(B\) نقطة من \(\Delta\) حيث \(\angle BOT = 60^{\circ}\).
لإنشاء النقطة \(B\):
ضع رأس المنقلة عند النقطة \(O\).
ضع خط الصفر للمنقلة على نصف القطر \(\overline{OT}\).
حدد علامة عند \(60^{\circ}\).
ارسم خطًا من \(O\) يمر بهذه العلامة.
النقطة \(B\) هي تقاطع هذا الخط مع المماس \(\Delta\).
احسب \(\angle OTB\) و \(\angle BOE\).
لحساب \(\angle OTB\):
نعلم أن \(\Delta\) هو المماس للدائرة في \(T\).
و \(\overline{OT}\) هو نصف قطر عمودي على المماس عند نقطة التماس \(T\).
إذن، المثلث \(OTB\) قائم الزاوية في \(T\).
وبالتالي، \(\angle OTB = 90^{\circ}\).
لحساب \(\angle BOE\):
في المثلث \(OTB\)، مجموع زوايا المثلث هو \(180^{\circ}\).
لدينا \(\angle BOT = 60^{\circ}\).
ولدينا \(\angle OTB = 90^{\circ}\).
إذن، \(\angle OBT = 180^{\circ} - (\angle BOT + \angle OTB)\)
\(\angle OBT = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 90^{\circ})\)
\(\angle OBT = 180^{\circ} - 150^{\circ}\)
\(\angle OBT = 30^{\circ}\)
نحتاج إلى معرفة النقطة \(E\). إذا كانت \(E\) على امتداد \(T\) أو \(O\)، فستكون زاوية مستقيمة.
بما أن \(\overline{TE}\) هو قطر للدائرة \(\mathcal{C}\)، فإن النقاط \(T\)، \(O\)، \(E\) على استقامة واحدة.
إذن، الزاوية \(\angle TOE = 180^{\circ}\).
وبما أن \(\angle BOT = 60^{\circ}\).
فإن \(\angle BOE = \angle TOE - \angle BOT\) (إذا كانت \(B\) على نفس جانب \(\overline{TE}\)).
\(\angle BOE = 180^{\circ} - 60^{\circ}\)
\(\angle BOE = 120^{\circ}\)
ابن \([Tu]\) منصف الزاوية \(\angle OTB\) والذي يقطع \(\overline{OB}\) في النقطة \(F\).
احسب \(\angle OTF\) و \(\angle OFT\).
أ) الرسم يتطلب أدوات هندسية.
لإنشاء \([Tu]\) منصف الزاوية \(\angle OTB\):
بما أن \(\angle OTB = 90^{\circ}\).
فإن منصف الزاوية \([Tu]\) سيقسمها إلى زاويتين متساويتين.
\(\angle OTu = \angle uTB = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}\).
لحساب \(\angle OTF\):
بما أن \(F\) هي نقطة تقاطع \([Tu]\) مع \(\overline{OB}\)، و \([Tu]\) هو منصف الزاوية \(\angle OTB\).
فإن \(\angle OTF = \frac{1}{2} \times \angle OTB\).
\(\angle OTF = \frac{1}{2} \times 90^{\circ}\)
\(\angle OTF = 45^{\circ}\).
لحساب \(\angle OFT\):
في المثلث \(OFT\)، مجموع زوايا المثلث هو \(180^{\circ}\).
لدينا \(\angle FOT = \angle BOT = 60^{\circ}\) (بما أن \(F\) تقع على \(\overline{OB}\)).
ولدينا \(\angle OTF = 45^{\circ}\) (حسبناها للتو).
إذن، \(\angle OFT = 180^{\circ} - (\angle FOT + \angle OTF)\)
\(\angle OFT = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 45^{\circ})\)
\(\angle OFT = 180^{\circ} - 105^{\circ}\)
\(\angle OFT = 75^{\circ}\).
أ/ ابن المستقيم \(\Delta'\) الموازي لـ \([ET]\) والمار من \(F\) والذي يقطع \(\overline{BT}\) في النقطة \(G\).
ب/ ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين \(\Delta'\) و \(\overline{BT}\)؟ علل جوابك.
ج/ أثبت أن \(\angle BFG = \angle BOT\).
أ) الرسم يتطلب أدوات هندسية.
لإنشاء \(\Delta'\):
ارسم خطًا يمر بالنقطة \(F\) ويكون موازياً للمستقيم \([ET]\) (الذي يمر بالنقطتين \(T\) و \(E\)). يمكن استخدام مسطرة ومثلث قائم أو منقلة لضمان التوازي.
النقطة \(G\) هي تقاطع هذا المستقيم مع الخط \(\overline{BT}\).
✍️ إصلاح السؤالين ب و ج سيُدرَج لاحقًا.