أ) يتطلب الرسم أدوات هندسية.

ب) لحساب \(\angle ABC\):

بما أن المستقيم المار من \(B\) عمودي على \((Ax)\)، فإن الزاوية التي يصنعها مع \((Ax)\) هي زاوية قائمة.

إذن، \(\angle ABC = 90^\circ\).

لحساب \(\angle ACB\):

في المثلث \(ABC\)، مجموع زوايا المثلث هو \(180^\circ\).

لدينا \(\angle xAy = 30^\circ\).

ولدينا \(\angle ABC = 90^\circ\).

إذن، \(\angle ACB = 180^\circ - (\angle ABC + \angle BAC)\)

\(\angle ACB = 180^\circ - (90^\circ + 30^\circ)\)

\(\angle ACB = 180^\circ - 120^\circ\)

\(\angle ACB = 60^\circ\)

✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.

يتطلب الرسم أدوات هندسية.

لبيان أن \(BI = BJ\):

\(I\) هو المسقط العمودي للنقطة \(B\) على \((AC)\)، إذن \(BI \perp (AC)\).

\(J\) هو المسقط العمودي للنقطة \(C\) على \((Ay)\)، إذن \(CJ \perp (Ay)\).

بما أن \([CB)\) هو منصف \(\angle ACI\) (من 2 ب))، فإن \(B\) تبعد نفس المسافة عن \((AC)\) و \((CI)\).

المسافة من \(B\) إلى \((AC)\) هي \(BI\) (لأن \(I\) هو المسقط العمودي).

المسافة من \(B\) إلى \((CI)\) هي \(BJ\) (لأن \(J\) هو المسقط العمودي على \((Ay)\)، و \((CI)\) جزء من \((Ay)\)).

إذن، \(BI = BJ\).

أ) يتطلب الرسم أدوات هندسية.

ب) لبيان أن \((CJ)\) هو المماس للدائرة \(\mathcal{C}\) في النقطة \(J\):

مركز الدائرة \(\mathcal{C}\) هو \(B\) وتمر من \(I\). إذن، شعاع الدائرة هو \(BI\).

من (3)، نعلم أن \(BI = BJ\). إذن، النقطة \(J\) تقع أيضًا على الدائرة \(\mathcal{C}\).

لكي يكون \((CJ)\) مماسًا للدائرة \(\mathcal{C}\) في \(J\)، يجب أن يكون \((CJ) \perp BJ\).

نعلم أن \(J\) هو المسقط العمودي لـ \(C\) على \((Ay)\)، أي \(CJ \perp (Ay)\).

بما أن \((CJ)\) جزء من \((Ay)\)، و \(BJ \perp (Ay)\) (لأن \(J\) هو المسقط العمودي)، فإن \(BJ \perp (CJ)\).

إذن، \((CJ)\) هو المماس للدائرة \(\mathcal{C}\) في النقطة \(J\).

أ) يتطلب الرسم أدوات هندسية.

ب) لحساب \(\angle xoz\):

الزاويتان \(\angle xoy\) و \(\angle zoy\) متجاورتان ومتكاملتان.

هذا يعني أن مجموع قياسهما \(180^\circ\).

إذن، \(\angle xoy + \angle zoy = 180^\circ\).

لدينا \(\angle xoy = 120^\circ\).

\(\angle zoy = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).

الزاوية \(\angle xoz\) هي الزاوية المستقيمة التي تشكلها الأشعة \([Ox)\) و \([Oz)\).

بما أن \(\angle xoy\) و \(\angle zoy\) متكاملتان، فإن \([Ox)\) و \([Oz)\) على استقامة واحدة.

إذن، \(\angle xoz = 180^\circ\).

أ) يتطلب الرسم أدوات هندسية.

ب) لبيان أن \((ou) \perp (ot)\):

\([Ou)\) منصف الزاوية \(\angle xoy\). إذن \(\angle xou = \angle uoy = \frac{1}{2} \angle xoy = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ\).

\([Ot)\) منصف الزاوية \(\angle zoy\). إذن \(\angle zot = \angle toy = \frac{1}{2} \angle zoy = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ\).

الزاوية \(\angle uot = \angle uoy + \angle toy\).

\(\angle uot = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ\).

إذن، \((ou) \perp (ot)\).

لاستنتاج أن \(\angle toy\) و \(\angle uoy\) متتامتان:

الزاويتان \(\angle toy\) و \(\angle uoy\) متجاورتان. مجموع قياسهما هو \(\angle uot = 90^\circ\).

إذن، \(\angle toy + \angle uoy = 90^\circ\).

الزاويتان متتامتان.

ج) لبيان أن \([oy)\) منصف الزاوية \(\angle uoz\):

يجب أن يكون \(\angle uoy = \angle yoz\).

لدينا \(\angle uoy = 60^\circ\) (من ب).

ولدينا \(\angle yoz = 60^\circ\) (من (1) ب).

بما أن \(\angle uoy = \angle yoz = 60^\circ\)، فإن \([oy)\) هو منصف الزاوية \(\angle uoz\).

أ) يتطلب الرسم أدوات هندسية.

ب) لبيان أن \((D) \parallel (ot)\):

المستقيم \((D)\) عمودي على \((Ou)\)، أي \((D) \perp (Ou)\).

من (2) ب)، نعلم أن \((ot) \perp (ou)\).

بما أن \((D)\) و \((ot)\) عموديان على نفس المستقيم \((Ou)\)، فإنهما متوازيان.

إذن، \((D) \parallel (ot)\).

أ) يتطلب الرسم أدوات هندسية.

لبيان أن \(BA = BC\):

\(A\) نقطة من \([Ou)\)، و \((D)\) يمر من \(A\) وعمودي على \((Ou)\) ويقطع \([oy)\) في \(B\).

\(C\) هو المسقط العمودي للنقطة \(B\) على \((oz)\)، إذن \(BC \perp (oz)\).

نعلم أن \([oy)\) هو منصف \(\angle uoz\) (من (2) ج).

النقطة \(B\) تقع على المنصف \([oy)\).

بما أن \(B\) على منصف \(\angle uoz\)، فإن \(B\) تبعد نفس المسافة عن \([Ou)\) و \([Oz)\).

المسافة من \(B\) إلى \([Ou)\) هي \(BA\) (لأن \((D)\) عمودي على \((Ou)\) عند \(A\)).

المسافة من \(B\) إلى \([Oz)\) هي \(BC\) (لأن \(C\) هو المسقط العمودي).

إذن، \(BA = BC\).

ب) يتطلب الرسم أدوات هندسية.

ج) لبيان أن \((xz)\) مماس للدائرة \(\mathcal{C}\):

الدائرة \(\mathcal{C}\) مركزها \(B\) وتمر من \(A\). إذن، شعاع الدائرة هو \(BA\).

من (4) أ)، نعلم أن \(BA = BC\). إذن، \(C\) تقع على الدائرة \(\mathcal{C}\).

لكي يكون \((xz)\) مماسًا، يجب أن يكون \((xz) \perp BC\) عند \(C\).

\(C\) هو المسقط العمودي لـ \(B\) على \((oz)\)، إذن \(BC \perp (oz)\).

بما أن \((xz) = (oz)\) (لأن \(\angle xoz = 180^\circ\))، فإن \(BC \perp (xz)\).

إذن، \((xz)\) هو المماس للدائرة \(\mathcal{C}\) في النقطة \(C\).

لحساب \(\angle ACB\):

في المثلث القائم الزاوية \(ABC\) في \(A\)، مجموع الزاويتين الحادتين هو \(90^\circ\).

\(\angle ABC + \angle ACB = 90^\circ\).

لدينا \(\angle ABC = 55^\circ\).

\(\angle ACB = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ\).

أ) يتطلب الرسم أدوات هندسية.

ب) لإثبات أن \(\overline{BC} \perp \overline{Bx}\):

الزاويتان \(\angle ABx\) و \(\angle ABC\) متجاورتان.

لدينا \(\angle ABC = 55^\circ\).

إذا كانت \(\angle CBx = 35^\circ\)، فإن \(\angle ABx + \angle ABC = \angle CBx + \angle ABC\).

\(\angle CBx + \angle ABC = 35^\circ + 55^\circ = 90^\circ\).

إذن، \(\overline{BC} \perp \overline{Bx}\).

الزاويتان \(\angle ABC\) و \(\angle ABx\) متجاورتان.

ومجموعهما \(\angle ABC + \angle ABx = 55^\circ + 35^\circ = 90^\circ\).

إذن، هما زاويتان متتامتان.

يتطلب الرسم أدوات هندسية.

لبيان أن \(\angle kCH = 90^\circ\):

الزاوية \(\angle ACT\) مكملة للزاوية \(\angle ACz\).

إذن، \(\angle ACT + \angle ACz = 180^\circ\).

\([Ck)\) منصف \(\angle ACz\). إذن \(\angle ACk = \angle kCz = \frac{1}{2} \angle ACz\).

\([CH)\) منصف \(\angle ACt\). إذن \(\angle ACH = \angle HCt = \frac{1}{2} \angle ACt\).

الزاوية \(\angle kCH = \angle kCA + \angle ACH\).

\(\angle kCH = \frac{1}{2} \angle ACz + \frac{1}{2} \angle ACt\).

\(\angle kCH = \frac{1}{2} (\angle ACz + \angle ACt)\).

بما أن \(\angle ACz + \angle ACt = 180^\circ\)، فإن:

\(\angle kCH = \frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ\).

يتطلب الرسم أدوات هندسية.

لتحديد الوضعية النسبية لـ \(\mathcal{C}\) و \((zt)\):

الدائرة \(\mathcal{C}\) مركزها \(I\) منتصف \([BC]\) وتمر من \(B\). إذن، شعاعها \(IB\).

بما أن \(I\) منتصف \([BC]\)، فإن \(IB = IC\). إذن، الدائرة تمر أيضًا من \(C\).

من (4)، \(\angle kCH = 90^\circ\). المستقيم \((zt)\) يمر بـ \(z\) و \(t\).

إذا كان \((zt) = (Cz)\)، فإن \(\mathcal{C}\) تقطع \((zt)\) في \(C\).

إذا كان \(A\) على الدائرة (لأن \(I\) مركز الدائرة المحيطة للمثلث القائم في \(A\))، فإن \(\mathcal{C}\) تقطع \((zt)\) في \(A\) و \(C\).

التعليل: الدائرة تمر من \(A\), \(B\), و \(C\). إذا كان \((zt)\) هو \((AC)\)، فإن \(\mathcal{C}\) تقطعه في نقطتين (\(A\) و \(C\)).

لا، الزاويتان \(\angle xBy\) و \(\angle yAz\) ليستا متجاورتين.

التعليل: الزاويتان متجاورتان إذا كان لهما نفس الرأس وضلع مشترك. \(\angle xBy\) رأسها \(B\)، و \(\angle yAz\) رأسها \(A\). الرأسان مختلفان، إذن ليستا متجاورتين.

يتطلب الرسم أدوات هندسية.

لبيان أن \(\angle uBx\) و \(\angle xBt\) متتامتان:

\([Bt)\) منصف \(\angle xBy\). إذن \(\angle xBt = \angle tBy = \frac{1}{2} \angle xBy = \frac{1}{2} \times 40^\circ = 20^\circ\).

\([Bu)\) منصف \(\angle xBA\). بما أن \(A\), \(B\), و \(y\) على استقامة واحدة، فإن \(\angle ABy = 180^\circ\).

\(\angle xBA = 180^\circ - \angle xBy = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\).

\(\angle xBu = \angle uBA = \frac{1}{2} \angle xBA = \frac{1}{2} \times 140^\circ = 70^\circ\).

\(\angle uBx + \angle xBt = 70^\circ + 20^\circ = 90^\circ\).

إذن، \(\angle uBx\) و \(\angle xBt\) متتامتان.

لحساب \(\angle ABC\):

بما أن \(A\), \(B\), و \(y\) على استقامة واحدة، فإن \(\angle ABy = 180^\circ\).

\(\angle xBy = 40^\circ\). إذن \(\angle ABx = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\).

\([Bt)\) منصف \(\angle xBy\). إذن \(\angle xBt = 20^\circ\).

\(\angle ABC = \angle ABt = \angle ABx + \angle xBt = 140^\circ + 20^\circ = 160^\circ\).

لحساب \(\angle ACB\):

في المثلث \(ABC\)، \(\angle zAy = 50^\circ\)، أي \(\angle BAC = 50^\circ\).

مجموع زوايا المثلث \(ABC\) هو \(180^\circ\).

\(\angle ACB = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ABC) = 180^\circ - (50^\circ + 160^\circ) = 180^\circ - 210^\circ = -30^\circ\).

هذه النتيجة مستحيلة، مما يشير إلى أن \(\angle ABC = 160^\circ\) قد تكون غير صحيحة بناءً على الرسم.

لنفترض تصحيحًا: إذا كانت \(\angle ABC\) زاوية داخلية أصغر.

من الرسم، \([Bt)\) يقطع \([Az)\) في \(C\). لنفترض أن \(\angle ABC = \angle ABt\).

\(\angle xBt = 20^\circ\). إذن \(\angle ABC = 180^\circ - \angle tBy = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ\).

لكن لنحاول تصحيح الزاوية بناءً على الرسم: إذا كانت \(\angle ABC\) حادة.

لنعد النظر: \(\angle xBy = 40^\circ\). \([Bt)\) منصف، إذن \(\angle xBt = \angle tBy = 20^\circ\).

\(\angle ABx = 140^\circ\). إذا كانت \(C\) على \([Bt)\)، فإن \(\angle ABC = \angle ABx - \angle xBt = 140^\circ - 20^\circ = 120^\circ\).

الآن، \(\angle ACB = 180^\circ - (50^\circ + 120^\circ) = 180^\circ - 170^\circ = 10^\circ\).

التعليل: \(\angle ABC = \angle ABx - \angle xBt = 140^\circ - 20^\circ = 120^\circ\). ثم \(\angle ACB = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ABC) = 10^\circ\).

يتطلب الرسم أدوات هندسية.

لتحديد الوضعية النسبية لـ \(\mathcal{C}\) و \((Bu)\):

الدائرة \(\mathcal{C}\) مركزها \(I\) منتصف \([BC]\) وتمر من \(B\). إذن، شعاعها \(IB\).

بما أن \(I\) منتصف \([BC]\)، فإن \(IB = IC\). إذن، الدائرة تمر من \(C\).

\([Bu)\) منصف \(\angle xBA\). إذن \(\angle xBu = 70^\circ\) (من (2)).

من (2)، \(\angle uBx + \angle xBt = 90^\circ\). إذن \((Bu) \perp (Bt)\).

بما أن \(C\) على \([Bt)\)، و \((Bu) \perp (Bt)\)، فإن \((Bu) \perp (BC)\).

لأن \(IB = IC\)، فإن \(B\) نقطة تماس، و \((Bu) \perp IB\). إذن، \((Bu)\) هو مماس للدائرة \(\mathcal{C}\) في \(B\).

✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.