توحيد مقامات الكسور

لتكون قادراً على مقارنة، جمع أو طرح الكسور، يجب أولاً أن يكون لها نفس المقام. هذه العملية تسمى "توحيد المقامات".

مثال للمقارنة: أيهما أكبر، $\frac{1}{2}$ أم $\frac{2}{3}$؟

من الصعب الحكم مباشرة. لكن إذا حولنا هذين الكسرين ليكونا على مقام مشترك، تصبح المقارنة سهلة. المقام المشترك الأصغر للعددين 2 و 3 هو 6.

• لتحويل $\frac{1}{2}$ إلى مقام 6، نضرب البسط والمقام في 3: $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$
• لتحويل $\frac{2}{3}$ إلى مقام 6، نضرب البسط والمقام في 2: $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$

الآن المقارنة واضحة جداً: بما أن $3 < 4$، فإن $\frac{3}{6} < \frac{4}{6}$. وبالتالي، نستنتج أن:

$$ \frac{1}{2} < \frac{2}{3} $$

تعتمد الطريقة على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) للمقامات.

1. البحث عن المقام المشترك: نبحث عن المضاعف المشترك الأصغر (PPCM) لجميع المقامات. هذا العدد سيكون هو المقام الموحد الجديد.
2. إيجاد معامل الضرب: لكل كسر، نقسم المقام المشترك الجديد على مقامه الأصلي لنجد العدد (المعامل) الذي سنضرب به.
3. تطبيق الضرب: نضرب بسط ومقام كل كسر في معامله الخاص.

مثال لعملية الجمع: لنحسب $\frac{3}{4} + \frac{2}{5}$

• المقامات هي 4 و 5. المضاعف المشترك الأصغر لـ 4 و 5 هو 20. إذن المقام الموحد هو 20.
• للكسر الأول $\frac{3}{4}$: $20 \div 4 = 5$. نضرب البسط والمقام في 5: $\frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}$
• للكسر الثاني $\frac{2}{5}$: $20 \div 5 = 4$. نضرب البسط والمقام في 4: $\frac{2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{8}{20}$
• الجمع: الآن يمكننا جمع الكسرين بسهولة:

$$ \frac{15}{20} + \frac{8}{20} = \frac{15 + 8}{20} = \frac{23}{20} $$

مثال 1: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$

المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 2, 3, 4 هو 12.

$\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$ ، $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ ، $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$

$$ \frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{6+4+3}{12} = \frac{13}{12} $$

مثال 2: $\frac{5}{6} + \frac{4}{9}$

المضاعف المشترك الأصغر للعددين 6 و 9 هو 18.

$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 3}{6 \times 3} = \frac{15}{18}$ ، $\frac{4}{9} = \frac{4 \times 2}{9 \times 2} = \frac{8}{18}$

$$ \frac{15}{18} + \frac{8}{18} = \frac{15+8}{18} = \frac{23}{18} $$

حالة الأعداد الصحيحة:

يمكن اعتبار أي عدد صحيح كسرًا مقامه 1. هذا يجعل من السهل جمعه أو طرحه مع كسر آخر.

مثال: $3 + \frac{1}{4}$

نعتبر 3 بمثابة $\frac{3}{1}$. المقام المشترك هو 4.

$$ 3 + \frac{1}{4} = \frac{3}{1} + \frac{1}{4} = \frac{3 \times 4}{1 \times 4} + \frac{1}{4} = \frac{12}{4} + \frac{1}{4} = \frac{13}{4} $$

الصيغة العامة (التعميم):

لجمع كسرين $\frac{a}{b}$ و $\frac{c}{d}$، الصيغة العامة هي:

$$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} $$

هذه الصيغة تعمل دائمًا، ولكنها قد لا تعطي المقام المشترك الأصغر دائمًا. استخدام المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) هو الطريقة الأكثر فعالية لتبسيط الحسابات.

ملاحظة: باللغة الإنجليزية، يُطلق على المضاعف المشترك الأصغر للمقامات اسم "Least Common Denominator" ويُختصر بـ "LCD".