فرض مراقبة عدد 5 في الرياضيات

تمرين عدد 1 (4 نقاط)

اختر الإجابة الصحيحة من بين المقترحات المقدمة:

(1) ربع الخمسين يساوي:

$\frac{1}{10}$

$\frac{8}{5}$

$\frac{5}{8}$

(2) مقلوب $\left(\frac{2}{3} + \frac{5}{2}\right)$ يساوي:

$\frac{3}{2} + \frac{2}{5}$

$\frac{3}{2}$

$\frac{6}{19}$

(3) نتيجة العبارة $\frac{26}{5} - \frac{2}{5} \times 3$ تساوي:

$\frac{24}{5} \times 3$

$\frac{26}{5} - \frac{6}{15}$

$4$

(4) $ABCD$ مستطيل حيث $BF$ منصف الزاوية $\angle DBC$ و $\angle FBC = 20°$

إذن: $\angle ADB$ تساوي:

$50°$

$40°$

$45°$

الحل التفصيلي

(1) ربع الخمسين = $\frac{1}{4} \times 50 = \frac{50}{4} = 12.5$

نتحقق من الخيارات: $\frac{1}{10} = 0.1$، $\frac{8}{5} = 1.6$، $\frac{5}{8} = 0.625$

لا يوجد خيار صحيح، الإجابة الصحيحة هي $12.5$

(2) نحسب أولاً: $\frac{2}{3} + \frac{5}{2} = \frac{4 + 15}{6} = \frac{19}{6}$

مقلوب $\frac{19}{6}$ هو $\frac{6}{19}$

الإجابة الصحيحة: $\frac{6}{19}$

(3) نطبق ترتيب العمليات:

$\frac{26}{5} - \frac{2}{5} \times 3 = \frac{26}{5} - \frac{6}{5} = \frac{20}{5} = 4$

الإجابة الصحيحة: $4$

(4) في المستطيل $ABCD$:

$\angle DBC = 2 \times \angle FBC = 2 \times 20° = 40°$
$\angle ADB = 90° - \angle DBC = 90° - 40° = 50°$

الإجابة الصحيحة: $50°$

تمرين عدد 2 (5 نقاط)

احسب العبارات التالية مختزلاً إلى أقصى حد:

A = $\frac{3}{7} \times \left(49 - \frac{7}{3}\right)$

B = $\frac{1}{8} \times \left(\frac{11}{3} \times 16\right) \times \frac{33}{121}$

C = $\frac{37}{14} \times 0.25 + \frac{19}{14} \times \frac{1}{4}$

D = $\frac{5 \times \frac{3}{4}}{5 - \frac{3}{4}}$

الحل التفصيلي

حساب A:

$A = \frac{3}{7} \times \left(49 - \frac{7}{3}\right)$
$= \frac{3}{7} \times \left(\frac{147 - 7}{3}\right)$
$= \frac{3}{7} \times \frac{140}{3}$
$= \frac{140}{7} = 20$

A = 20

حساب B:

$B = \frac{1}{8} \times \left(\frac{11}{3} \times 16\right) \times \frac{33}{121}$
$= \frac{1}{8} \times \frac{176}{3} \times \frac{33}{121}$
$= \frac{176 \times 33}{8 \times 3 \times 121}$
$= \frac{11 \times 16 \times 3 \times 11}{8 \times 3 \times 11^2}$
$= \frac{16}{8} = 2$

B = 2

حساب C:

$C = \frac{37}{14} \times 0.25 + \frac{19}{14} \times \frac{1}{4}$
$= \frac{37}{14} \times \frac{1}{4} + \frac{19}{14} \times \frac{1}{4}$
$= \frac{1}{4} \times \left(\frac{37}{14} + \frac{19}{14}\right)$
$= \frac{1}{4} \times \frac{56}{14} = \frac{1}{4} \times 4 = 1$

C = 1

حساب D:

$D = \frac{5 \times \frac{3}{4}}{5 - \frac{3}{4}}$
$= \frac{\frac{15}{4}}{\frac{20-3}{4}}$
$= \frac{\frac{15}{4}}{\frac{17}{4}}$
$= \frac{15}{17}$

D = $\frac{15}{17}$

تمرين عدد 3 (4 نقاط)

خير تلاميذ قسمك بين أحد الألعاب الرياضية التالية: كرة المضرب - سباحة.

فاختار نصف الثلث السباحة والباقي اختار ثلثي كرة المضرب وبقي 10 تلاميذ بدون اختيار.

(1) احسب كلا من:

• العدد الكسري الذي يمثل عدد التلاميذ الذين اختاروا السباحة

• العدد الكسري الذي يمثل عدد التلاميذ الذين اختاروا كرة المضرب

(2) ما هو عدد تلاميذ قسمك؟

الحل التفصيلي

(1) تحليل المعطيات:

• اختار السباحة: نصف الثلث = $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ من إجمالي التلاميذ
• الباقي بعد السباحة: $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ من إجمالي التلاميذ
• اختار كرة المضرب: ثلثي الباقي = $\frac{2}{3} \times \frac{5}{6} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$ من إجمالي التلاميذ

السباحة: $\frac{1}{6}$ من إجمالي التلاميذ
كرة المضرب: $\frac{5}{9}$ من إجمالي التلاميذ

(2) حساب العدد الإجمالي:

نسبة من لم يختار = $1 - \frac{1}{6} - \frac{5}{9}$
$= \frac{18 - 3 - 10}{18} = \frac{5}{18}$
إذا كان $\frac{5}{18}$ من التلاميذ = 10 تلاميذ
فإن العدد الإجمالي = $10 \times \frac{18}{5} = 36$ تلميذ

عدد تلاميذ القسم = 36 تلميذ

التحقق:

• السباحة: $\frac{1}{6} \times 36 = 6$ تلاميذ
• كرة المضرب: $\frac{5}{9} \times 36 = 20$ تلميذ
• بدون اختيار: $36 - 6 - 20 = 10$ تلاميذ ✓

تمرين عدد 4 (7 نقاط)

ليكن $ABC$ مثلث قائم الزاوية في $A$ كما يبين الشكل المرافق حيث:

$AC = 6cm$ و $AB = 8cm$ و $BC = 10cm$

رسم المثلث القائم الزاوية ABC

المثلث ABC قائم الزاوية في A
AC = 6cm، AB = 8cm، BC = 10cm

(1) عين النقطة $I$ منتصف $[BC]$. بين أن $IA = IB = 5$.

(2) ابن النقطة $J$ مناظرة $I$ بالنسبة إلى المستقيم $AB$. بين أن الرباعي $AIBJ$ معين.

(3) إذا علمت أن $\angle ACB = 54°$، احسب $\angle ABC$ ثم استنتج $\angle BIJ$.

(4) لتكن $N$ نقطة تقاطع المستقيمين $IJ$ و $AB$ و $M$ المسقط العمودي لـ $I$ على $AC$.

أ) بين أن الرباعي $AMIN$ مستطيل.

ب) بين أن: $AJ = MN$.

الحل التفصيلي

(1) إثبات أن $IA = IB = 5$:

بما أن $I$ منتصف $[BC]$، فإن $IB = IC = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5cm$
في المثلث القائم، المسافة من منتصف الوتر إلى أي رأس تساوي نصف الوتر
لذلك: $IA = \frac{BC}{2} = 5cm$

$IA = IB = IC = 5cm$

(2) إثبات أن $AIBJ$ معين:

$J$ مناظرة $I$ بالنسبة إلى $AB$، إذن $AB$ محور تماثل للنقطتين $I$ و $J$
لذلك: $JA = IA = 5cm$ و $JB = IB = 5cm$
الرباعي $AIBJ$ له جميع أضلاعه متساوية: $AI = IB = BJ = JA = 5cm$

$AIBJ$ معين لأن جميع أضلاعه متساوية

(3) حساب الزوايا:

في المثلث القائم $ABC$:
$\angle ABC = 90° - \angle ACB = 90° - 54° = 36°$
في المعين $AIBJ$، القطران متعامدان ومنصفان للزوايا
$\angle BIJ = \frac{\angle AIB}{2}$
$\angle AIB = 180° - 2 \times 36° = 108°$ (في المثلث المتساوي الساقين $AIB$)
$\angle BIJ = \frac{108°}{2} = 54°$

$\angle ABC = 36°$ و $\angle BIJ = 54°$

(4أ) إثبات أن $AMIN$ مستطيل:

$M$ مسقط $I$ على $AC$ إذن $\angle AMI = 90°$
$N$ على $AB$ و $J$ مناظرة $I$ بالنسبة إلى $AB$ إذن $\angle ANI = 90°$
$\angle MAN = 90°$ (المثلث قائم في $A$)
الرباعي $AMIN$ له ثلاث زوايا قائمة، إذن هو مستطيل

$AMIN$ مستطيل

(4ب) إثبات أن $AJ = MN$:

في المستطيل $AMIN$: $MN = AI$
من السؤال (2): $AJ = AI$ (في المعين)
إذن: $AJ = AI = MN$

$AJ = MN$ (أقطار المستطيل متساوية)